§ 6. ТРАЕКТОРИИ, ЛИНИИ ТОКА, КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ

Траекторией частицы (точки сплошной среды) называется геометрическое место точек пространства, через которые движущаяся частица последовательно проходит во времени.

Если движение задано в переменных Лагранжа, то известны функции

Уравнения (6.1) есть параметрические уравнения траектории той жидкой частицы, положение которой в момент определялось параметрами а, b, с.

Если задача решена в переменных Эйлера, то известны . Если х, у, z — координаты точки на траектории, то

Уравнение траектории следует искать как решение системы дифференциальных уравнений (6.2). Чтобы найти траекторию частицы, которая при имела бы координаты

надо решить задачу Коши для системы (6.2) с начальными данными (6.3).

Линией тока называется линия, которая для данного момента времени t обладает следующим свойством: вектор скорости v, вычисленный в любой точке этой линии, направлен по касательной к ней. Фиксируем момент времени t. Пусть dr — бесконечно малый элемент линии тока с проекциями dx, dy, dz, а v(x,y,z,t) - вектор скорости. Тогда по определению вектор dr коллинеарен вектору v. Условие коллинеарности dr и v в проекциях записывается в виде

Система -система дифференциальных уравнений линий тока; время t здесь является фиксированным параметром. Обозначая общее значение величины дробей через ds (s — вспомогательная переменная), перепишем систему уравнений (6.4) в виде

Здесь s — независимая переменная, t — параметр.

В переменных Эйлера скорости — известные функции х, у, z, t. Чтобы найти линию тока, которая проходит через точку , надо решить задачу Коши для системы (6.5) с начальными данными

В переменных Лагранжа а, b, с, t функции (6.1) известны Скорости находятся согласно (5.3). Различным точкам линии тока, положение которых определяется параметром s, соответствуют различные значения а, b, с (различные частицы) . Координаты точек х, у, z линии тока оказываются сложными функциями s. Находя выражения для при фиксированном t и приравнивая их, согласно (6.5), выражениям для скоростей, получаем систему уравнений

Система (6.7) может быть разрешена относительно производных в силу условия (2.4). Решая задачу Коши, находим функции

Подставляя (6.8) в (6.1), получаем параметрические уравнения линий тока в зависимости от s при фиксированном значении t.

Для установившихся течений скорости не зависят от времени, время t не будет входить явно в правые части уравнений (6.2) для траекторий и уравнений (6.5) для линий тока. А тогда обе системы уравнений совпадают. Так как траектории и линии тока находятся в результате решения одной и той же задачи Коши, то в установившихся течениях они совпадают. Вспомогательный параметр s. который мы ввели, в этом случае имеет смысл времени движения t.

Для неустановившихся движений в общем случае линии тока и траектории не совпадают.

Поверхность тока — поверхность для фиксированного момента времени, в каждой точке которой вектор скорости лежит в касательной плоскости. Пусть — единичный вектор нормали к поверхности, v — вектор скорости.

Тогда по определению или

Пусть уравнение поверхности тока

Направляющие косинусы нормали пропорциональны производным , т. е. вектор n параллелен вектору . Из уравнения (6.9) тогда следует, что

Уравнение (6.11) — линейное уравнение в частных производных первого порядка для отыскания функции , где t — параметр. Характеристики уравнения (6.11) удовлетворяют системе уравнений

Уравнения (6.12) совпадают с уравнениями (6.4) для линий тока, т. е. характеристики уравнения (6.11) являются линиями тока. Для уравнения (6.11) обычно ставят задачу Коши: отыскать поверхность тока, которая проходит через заданную кривую . Эта задача имеет смысл, если кривая не является характеристикой. Геометрически поверхность тока обычно строится следующим образом: берут кривую, не являющуюся линией тока, и через точки этой линии проводят линии тока.

Критическая точка — точка потока, в которой вектор скорости равен нулю, т. е. одновременно

Рассмотрим систему уравнений (6.4) для линий тока. Если в некоторой точке хотя бы одна из составляющих скорости не равна нулю, то в силу теоремы существования и единственности решения для системы (6.4) через такую точку проходит только одна линия тока. Если точка критическая, т. е. выполняется равенство (6.13), то эта точка является особой для системы уравнений (6.4), в ней может нарушаться теорема единственности. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока.