§ 2. ВИХРЕВАЯ СИСТЕМА КРЫЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Составим представление об общей схеме рассмотрения задачи с учетом сделанных предположений. Жидкость, заполняющая безграничное пространство, обтекает крыло конечного размаха (рис. 49). С задней острой кромки крыла сбегает поверхность 2 разрыва касательных составляющих скорости, которую можно трактовать как вихревую поверхность, образованную вихревыми трубками. Выделим на этой поверхности бесконечно тонкую вихревую трубку. При сделанных предположениях (движение установившееся, жидкость несжимаемая, массовые силы отсутствуют) справедлива теорема Гельмгольца, согласно которой вихревые трубки при движении все время остаются вихревыми трубками, перемещаясь вместе с жидкостью. Но поскольку движение установившееся, это возможно, только если вихревые линии будут совпадать с линиями тока.

Так как крыло тонкое, то можно скорости представить в виде где скорости возмущений, возникающие из-за наличия крыла. Так как последние невелики по сравнению со скоростью то линии тока будут мало отклоняться от линий тока невозмущенного движения. Поверхность тока, сбегающая с задней острой кромки крыла, и совпадающая с ней вихревая поверхность будут мало отклоняться от плоскости Поэтому приближенно можно принять, что вихревая поверхность совпадает с частью плоскости , а вихревые линии, образующие эту поверхность, будут прямыми, параллельными оси х.

Рис. 49.

По теореме Гельмгольца вихревая трубка сохраняет свою интенсивность по всей длине и потому не может оканчиваться в жидкости. Согласно схеме жидкого крыла можно считать все пространство заполненным жидкостью. Поэтому вихревую трубку нужно представить продолженной в области внутрь крыла и затем выходящей из него, т. е. каждый вихрь можно представить в виде П-образного вихря. Часть вихря, связанную с крылом, называют присоединенным вихрем, части вихря, покидающие крыло и уходящие в бесконечность, называют свободными вихрями.

Так как крыло имеет большое удлинение (узкое), то все присоединенные вихри рассматривают как один линейный вихрь внутри крыла, расположенный вдоль отрезка оси имеющий переменную интенсивность вдоль своей длины. От этого присоединенного вихря сбегают свободные вихри, образующие вихревую пелену (рис. 50). Заметим, что в случае крыла бесконечного размаха свободные вихри отсутствуют.

Свободные вихри индуцируют в пространстве скорости. В разных точках пространства эти скорости называемые индуктивными, различны.

Но нас интересует течение вблизи крыла. На основании гипотезы плоских сечений можем свести пространственную задачу к плоской. В сечении будем рассматривать обтекание профиля потоком, скорость которого складывается скорости невозмущенного потока и скорости вызываемой свободными вихрями.

Так как крыло имеет большое удлинение, то на протяжении длины хорды изменения скорости в зависимости от вблизи профиля малы. Поэтому можно приближенно принять индуктивную скорость постоянной и равной скорости, вызываемой системой свободных вихрей, в точке на оси z, т. е. там, где расположен присоединенный вихрь (рис. 51).

Теперь в сечении будем иметь плоскую задачу обтекания профиля потоком, имеющим скорость , где Угол между называют углом скоса потока.

Рис. 50.

Рис. 51.

Таким образом, вместо пространственного течения около крыла рассматривать в каждом сечении z = const плоское обтекание профиля потоком, скорость которого зависит от .

Итак, задача обтекания крыла конечного размаха разделилась на две — задачу обтекания профиля поступательным потоком и определение изменения циркуляции по размаху крыла.

Будем сначала считать известной и получим формулы для индуктивной скорости, угла скоса потока, индуктивного сопротивления и подъемной силы.

Выделим элемент крыла шириной и подсчитаем силу, действующую на него. По теореме Жуковского эта сила перпендикулярна скорости и равна

Эту силу можно разделить на две составляющие: подъемную силу

и силу , связанную со скосом потока и называемую силой индуктивного сопротивления:

Учитывая малость угла , имеем

Кроме того, из рис. 51 видно, что для малых

Интегрируя равенства (2.2) по размаху крыла с учетом (2.1), получим формулы для подъемной силы и силы индуктивного сопротивления, действующих на крыло:

или

Этими формулами определяется силовое воздействие потока на крыло, если известно распределение циркуляции по размаху крыла. Преобразуем эти формулы.

От элемента взятого около точки присоединенного вихря, отходит свободный вихрь. Интенсивность свободного вихря равна изменению интенсивности присоединенного вихря, т. е. Бесконечная вихревая нить, параллельная оси и проходящая через точку , вызывает в точке скорость . Свободный вихрь интенсивности Г, выходящий из точки оси z (полубесконечный вихрь), индуцирует в точке оси z скорость

Интегрируя (2.7) по размаху крыла , получаем индуцируемую в точке системой свободных вихрей:

(При этом интеграл вычисляется в смысле главного значения Коши.)

Подставляя (2.8) в (2.3), получаем

и затем

Удобно в формулах (2.4), (2.9), (2.10) ввести новую независимую переменную, положив . В (соответственно , и представить Г в виде тригонометрического ряда

Рассмотрим сначала выражение для подъемной силы. Подставим (2.11) в (2.4):

Учитывая, что получим

т. е. подъемная сила определяется только коэффициентом в разложении Г в ряд по синусам.

Теперь запишем выражение для . Подставим (2.11) в (2.8). Принимая во внимание, что

получим

Так как

то окончательно для индуктивной скорости будем иметь

Угол скоса потока при этом выразится формулой

Выражение для силы сопротивления получим, подставив (2.11) в (2.5):

Из (2.19) видно, что при заданной подъемной силе (последняя определяется только через ) индуктивное сопротивление будет минимальным, если все .

Определим коэффициент подъемной силы и коэффициент индуктивного сопротивления:

Здесь S — площадь крыла в плане.

Используя формулы (2.13) и (2.19) для , получаем

Так как — удлинение крыла, то выражения для и можно записать в виде