§ 3. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ В СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УСЛОЖНЕННОЙ ТЕРМОДИНАМИКОЙ

В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется выражением

Следовательно, при малых изменениях параметров состояния

На основании первого начала термодинамики сумма равна притоку тепла dq к системе. Если приток тепла к системе или отвод тепла от нее отсутствует, т. е. если процесс адиабатический, то . Таким образом, для адиабатического процесса равенство (2.8) (при отсутствии массовых сил) можно записать в виде и соответственно интеграл Бернулли — в виде

где — значение энтальпии при .

Если ввести в (3.2) выражение (3.1) для , то будем иметь

Здесь Е — внутренняя энергия, складывающаяся в случае многоатомного газа из энергии поступательного , вращательного и колебательного движений молекул (предполагается, что нет процессов диссоциации, ионизации и др.). В газовой динамике предполагают, что газ совершенный, а теплоемкость обычно считают постоянной, что справедливо в определенном диапазоне температур, когда можно не учитывать колебательную энергию. В этом случае для двухатомных газов (воздух обычно рассматривают как смесь кислорода и азота) и энтальпия дается формулой (2.16), а интеграл Бернулли имеет вид (2.17) (при ). Если температуры таковы, что возбуждается и колебательная энергия , то интеграл Бернулли надо писать в виде

Для газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, колебательная энергия есть функция температуры Т, но при этом теплоемкость колебательных степеней свободы, а следовательно, и зависят от Г.

Для двухатомного газа в предположении, что молекулы — гармонические осцилляторы, выражение для колебательной энергии имеет вид

Величина , имеющая размерность температуры и называемая часто характеристической температурой, равна , где v — частота колебаний, постоянная Планка, а k — постоянная Больцмана.

Интеграл Бернулли для двухатомного однокомпонентного газа с учетом возбуждения колебательной энергии будет иметь вид

Интеграл Бернулли может быть использован и при исследовании неравновесных процессов. Чаще всего неравновесным оказывается процесс, связанный с изменением колебательной энергии, так как колебательная энергия достигает своего равновесного значения значительно медленнее, чем энергия поступательного и вращательного движений. В этом случае энергия колебательного движения уже не будет функцией температуры, а будет новой неизвестной функцией. Интеграл Бернулли при этом записывается в виде

Для того чтобы система уравнений гидромеханики оказалась замкнутой, должно быть построено дополнительное уравнение для отыскания . В случае, если колебательная энергия мало отклоняется от своего равновесного значения (т. е. рассматривается слабонеравновесный процесс), это уравнение имеет вид

Здесь - равновесное значение соответствующее данной температуре T; — фактическое (искомое) значение колебательной энергии. Величина , имеющая размерность времени, называется временем релаксации и характеризует быстроту, с которой система приходит в состояние равновесия. Обычно величина есть функция р и Т. Если двухатомные молекулы можно представить как гармонические осцилляторы, то для однокомпонентного газа это уравнение справедливо и при больших отклонениях от равновесия.