§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИ

По заданному полю скорости легко найти его дивергенцию и вихрь . Поставим обратную задачу. Пусть заданы функции . Требуется найти поле скорости , удовлетворяющее уравнениям

Очевидно, что эта система не всегда имеет решение (уравнений четыре, искомых функций три). Так как , то одно из необходимых условий разрешимости системы состоит в выполнении равенства

Будем предполагать, что условие (6.3) выполнено. Система уравнений (6.1), (6.2) должна решаться при соответствующих граничных условиях. Если ищется поле скорости внутри области , ограниченной поверхностью S, то на этой поверхности задается нормальная составляющая скорости

Если поле скоростей отыскивается во внешней части , то наряду с (6.4) необходимо задать скорость на бесконечности. В первом случае функция не может быть произвольной. Действительно, интеграл (расход жидкости через поверхность) можно записать в виде

Следовательно, нормальная составляющая скорости на поверхности S должна удовлетворять условию

Рассмотрим решение задачи в случае, когда жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности:

Будем искать поле скорости v в виде суммы двух полей:

таких, что

(I)

Поскольку исходная задача линейна, сумма скоростей будет искомым решением.

Построим сначала решение задачи (I). Будем искать скорость в виде

В этом случае второе уравнение (I) удовлетворяется тождественно, а из первого уравнения получим

Таким образом, задача свелась к отысканию решения уравнения Пуассона в неограниченном пространстве.

Угадать вид решения уравнения (6.8) можно из физических соображений. Предположим, что функция отлична от нуля только в ограниченной области . Разобьем область на меньших областей и положим

где каждая из функций отлична от нуля только в области . Поскольку уравнение (6.8) линейное, решение его можно искать в виде суммы:

где — решение уравнения Пуассона

Положим и подсчитаем расход жидкости через поверхность сферы S, внутри которой находится область :

Отсюда следует, что течение с потенциалом можно приближенно описать как течение от источника обильности можно ожидать, что

где координаты точки из области . Подставляя (6.11) в (6.9), получаем

В правой части (6.12) стоит сумма Римана для интеграла

поэтому можно ожидать, что решение уравнения Пуассона (6.8) имеет вид

(6.13)

Функция (6.13) называется ньютоновым потенциалом.

В курсах математической физики доказывается, что эта функция является единственным решением уравнения Пуассона (6.8), стремящимся на бесконечности к нулю, если только наложить некоторые дополнительные условия на функцию .

Достаточно потребовать, чтобы функция была кусочно-гладкой, ограниченной и убывала на бесконечности как , где .

Таким образом, решение задачи (I) определяет вектор

Перейдем теперь к решению задачи (II). Ранее говорилось о том, что для любого вектора А справедливо равенство . Следовательно, если искать решение задачи (II) в виде

то первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид

функцию А называют векторным потенциалом поля скорости. Используя легко проверяемое равенство

запишем уравнение (6.15) в виде

Не уменьшая общности, можно считать, что Действительно, если , то, полагая , получаем

Выбирая как решение уравнения Пуассона (см. задачу (I)), получаем . Таким образом, использование векторов А и А, для вычисления скорости приведет к одинаковым результатам, и при этом .

Итак, будем считать, что . Тогда уравнение (6.16) примет вид

В проекциях на оси координат уравнение (6.17) имеет вид

Каждое из уравнений (6.18) — уравнение Пуассона, а мы уже научились строить его решение при рассмотрении задачи (I). Таким образом, используя решение задачи (I), можно записать

Возвращаясь к исходной задаче, получим

Таким образом, поставленная задача решена, однако осталось несколько моментов, которые подлежат проверке.

1. При построении вектора А предполагалось, что div А = 0. Проверим, что полученное для А выражение (6.19) действительно удовлетворяет этому равенству.

Рассмотрим сначала выражение . Учитывая (6.17), получим

Таким образом, — гармоническая функция. Нетрудно проверить, что

Но известно, что функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нулю на бесконечности, есть тождественный нуль. Следовательно, div А = 0.

2. Установим единственность полученного решения задачи (6.1), (6.2), (6.6). Предположим, что наряду с построенным решением v имеется другое решение задачи . Тогда разность удовлетворяет условиям

Покажем, что . Очевидно, что u — потенциальное поле . Но . Следовательно, , а вместе с ней и u являются гармоническими функциями. Таким образом, u — гармоническая функция, обращающаяся в нуль на бесконечности. Отсюда следует, что . Единственность полученного нами решения доказана.

Замечание. Скажем несколько слов о решении в области , ограниченной поверхностью S, задачи (6.1), (6.2) с граничным условием (6.4). Решение этой задачи можно искать в виде

где и А — построенные выше функции, а u удовлетворяет уравнениям . Очевидно, что Тогда . Для нормальной составляющей будем иметь

Следовательно,

где . Поскольку f — заданная функция, для получаем задачу Неймана.