Главная > Лекции по гидроаэромеханике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИ

По заданному полю скорости легко найти его дивергенцию и вихрь . Поставим обратную задачу. Пусть заданы функции . Требуется найти поле скорости , удовлетворяющее уравнениям

Очевидно, что эта система не всегда имеет решение (уравнений четыре, искомых функций три). Так как , то одно из необходимых условий разрешимости системы состоит в выполнении равенства

Будем предполагать, что условие (6.3) выполнено. Система уравнений (6.1), (6.2) должна решаться при соответствующих граничных условиях. Если ищется поле скорости внутри области , ограниченной поверхностью S, то на этой поверхности задается нормальная составляющая скорости

Если поле скоростей отыскивается во внешней части , то наряду с (6.4) необходимо задать скорость на бесконечности. В первом случае функция не может быть произвольной. Действительно, интеграл (расход жидкости через поверхность) можно записать в виде

Следовательно, нормальная составляющая скорости на поверхности S должна удовлетворять условию

Рассмотрим решение задачи в случае, когда жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности:

Будем искать поле скорости v в виде суммы двух полей:

таких, что

(I)

Поскольку исходная задача линейна, сумма скоростей будет искомым решением.

Построим сначала решение задачи (I). Будем искать скорость в виде

В этом случае второе уравнение (I) удовлетворяется тождественно, а из первого уравнения получим

Таким образом, задача свелась к отысканию решения уравнения Пуассона в неограниченном пространстве.

Угадать вид решения уравнения (6.8) можно из физических соображений. Предположим, что функция отлична от нуля только в ограниченной области . Разобьем область на меньших областей и положим

где каждая из функций отлична от нуля только в области . Поскольку уравнение (6.8) линейное, решение его можно искать в виде суммы:

где — решение уравнения Пуассона

Положим и подсчитаем расход жидкости через поверхность сферы S, внутри которой находится область :

Отсюда следует, что течение с потенциалом можно приближенно описать как течение от источника обильности можно ожидать, что

где координаты точки из области . Подставляя (6.11) в (6.9), получаем

В правой части (6.12) стоит сумма Римана для интеграла

поэтому можно ожидать, что решение уравнения Пуассона (6.8) имеет вид

(6.13)

Функция (6.13) называется ньютоновым потенциалом.

В курсах математической физики доказывается, что эта функция является единственным решением уравнения Пуассона (6.8), стремящимся на бесконечности к нулю, если только наложить некоторые дополнительные условия на функцию .

Достаточно потребовать, чтобы функция была кусочно-гладкой, ограниченной и убывала на бесконечности как , где .

Таким образом, решение задачи (I) определяет вектор

Перейдем теперь к решению задачи (II). Ранее говорилось о том, что для любого вектора А справедливо равенство . Следовательно, если искать решение задачи (II) в виде

то первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид

функцию А называют векторным потенциалом поля скорости. Используя легко проверяемое равенство

запишем уравнение (6.15) в виде

Не уменьшая общности, можно считать, что Действительно, если , то, полагая , получаем

Выбирая как решение уравнения Пуассона (см. задачу (I)), получаем . Таким образом, использование векторов А и А, для вычисления скорости приведет к одинаковым результатам, и при этом .

Итак, будем считать, что . Тогда уравнение (6.16) примет вид

В проекциях на оси координат уравнение (6.17) имеет вид

Каждое из уравнений (6.18) — уравнение Пуассона, а мы уже научились строить его решение при рассмотрении задачи (I). Таким образом, используя решение задачи (I), можно записать

Возвращаясь к исходной задаче, получим

Таким образом, поставленная задача решена, однако осталось несколько моментов, которые подлежат проверке.

1. При построении вектора А предполагалось, что div А = 0. Проверим, что полученное для А выражение (6.19) действительно удовлетворяет этому равенству.

Рассмотрим сначала выражение . Учитывая (6.17), получим

Таким образом, гармоническая функция. Нетрудно проверить, что

Но известно, что функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нулю на бесконечности, есть тождественный нуль. Следовательно, div А = 0.

2. Установим единственность полученного решения задачи (6.1), (6.2), (6.6). Предположим, что наряду с построенным решением v имеется другое решение задачи . Тогда разность удовлетворяет условиям

Покажем, что . Очевидно, что u — потенциальное поле . Но . Следовательно, , а вместе с ней и u являются гармоническими функциями. Таким образом, u — гармоническая функция, обращающаяся в нуль на бесконечности. Отсюда следует, что . Единственность полученного нами решения доказана.

Замечание. Скажем несколько слов о решении в области , ограниченной поверхностью S, задачи (6.1), (6.2) с граничным условием (6.4). Решение этой задачи можно искать в виде

где и А — построенные выше функции, а u удовлетворяет уравнениям . Очевидно, что Тогда . Для нормальной составляющей будем иметь

Следовательно,

где . Поскольку f — заданная функция, для получаем задачу Неймана.

1
Оглавление
email@scask.ru