Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИПо заданному полю скорости легко найти его дивергенцию
Очевидно, что эта система не всегда имеет решение (уравнений четыре, искомых функций три). Так как
Будем предполагать, что условие (6.3) выполнено. Система уравнений (6.1), (6.2) должна решаться при соответствующих граничных условиях. Если ищется поле скорости внутри области
Если поле скоростей отыскивается во внешней части
Следовательно, нормальная составляющая скорости на поверхности S должна удовлетворять условию
Рассмотрим решение задачи в случае, когда жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности:
Будем искать поле скорости v в виде суммы двух полей:
таких, что
Поскольку исходная задача линейна, сумма скоростей Построим сначала решение задачи (I). Будем искать скорость
В этом случае второе уравнение (I) удовлетворяется тождественно, а из первого уравнения получим
Таким образом, задача свелась к отысканию решения уравнения Пуассона в неограниченном пространстве. Угадать вид решения уравнения (6.8) можно из физических соображений. Предположим, что функция
где каждая из функций
где
Положим
Отсюда следует, что течение с потенциалом
где
В правой части (6.12) стоит сумма Римана для интеграла
поэтому можно ожидать, что решение уравнения Пуассона (6.8) имеет вид
Функция (6.13) называется ньютоновым потенциалом. В курсах математической физики доказывается, что эта функция является единственным решением уравнения Пуассона (6.8), стремящимся на бесконечности к нулю, если только наложить некоторые дополнительные условия на функцию Достаточно потребовать, чтобы функция Таким образом, решение задачи (I) определяет вектор
Перейдем теперь к решению задачи (II). Ранее говорилось о том, что для любого вектора А справедливо равенство
то первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид
функцию А называют векторным потенциалом поля скорости. Используя легко проверяемое равенство
запишем уравнение (6.15) в виде
Не уменьшая общности, можно считать, что
Выбирая Итак, будем считать, что
В проекциях на оси координат уравнение (6.17) имеет вид
Каждое из уравнений (6.18) — уравнение Пуассона, а мы уже научились строить его решение при рассмотрении задачи (I). Таким образом, используя решение задачи (I), можно записать
Возвращаясь к исходной задаче, получим
Таким образом, поставленная задача решена, однако осталось несколько моментов, которые подлежат проверке. 1. При построении вектора А предполагалось, что div А = 0. Проверим, что полученное для А выражение (6.19) действительно удовлетворяет этому равенству. Рассмотрим сначала выражение
Таким образом,
Но известно, что функция, гармоническая во всем пространстве и стремящаяся к нулю на бесконечности, есть тождественный нуль. Следовательно, div А = 0. 2. Установим единственность полученного решения задачи (6.1), (6.2), (6.6). Предположим, что наряду с построенным решением v имеется другое решение задачи
Покажем, что Замечание. Скажем несколько слов о решении в области
где
Следовательно,
где
|
1 |
Оглавление
|