§ 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Имеем систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости (2.12). Чтобы решение интересующих нас задач, описываемых этой системой, было единственным, должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим граничные условия трех типов: на обтекаемом теле, на границе раздела двух жидкостей и на бесконечности (если жидкость заполняет безграничное пространство)

А. Постановка задач для установившихся течений. В этом случае для любой гидродинамической функции f

1. Граничные условия на обтекаемом теле. При установившемся течении тела неподвижны, скорость и точек поверхности обтекаемого тела равна нулю. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу. Поэтому на поверхности S непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю, т. е.

где — нормальная и касательная составляющие скорости. Если поверхность проницаема, то

Кроме условий для скорости ставится условие для температуры обычно одного из двух видов: либо задается температура Т жидкости у поверхности тела, например, если - температура точек поверхности тела, то

либо задается поток тепла q, идущий от тела к жидкости (или обратно):

Если — коэффициент теплопроводности - и температура тела, то это условие можно записать в виде

Условие (3.3) означает непрерывность потока тепла.

2. Граничные условия на поверхности раздела двух жидкостей. Поверхность неподвижна. Условие для скорости

Условие (3.4) — условие непрерывности скорости при переходе через поверхность раздела, т. е. в вязкой жидкости должны быть равны не только нормальные, но и касательные составляющие скорости.

Если n — нормаль к площадке, расположенной на поверхности , то условие для напряжений будет

Условие для потока тепла (сохранения потока тепла)

3. Условия на бесконечности

Таким образом, задача состоит в нахождении решения системы уравнений (2.12), удовлетворяющего условиям, указанным в пунктах 1,2,3.

Б. Постановка задач для неустановившихся течений.

1. Граничные условия на поверхности тела. При нестационарных течениях тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Пусть — скорость точки М поверхности S тела в момент времени t. Тогда для непроницаемого тела

Для проницаемого тела , где — заданная функция.

Условия для температуры сохраняют свой вид, только в этом случае функции, входящие в (3.2), (3.3), зависят еще и от времени t.

2. Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид (3.4) — (3.6), но теперь от времени t могут зависеть не только функции , но и сама поверхность раздела .

3. На бесконечности должны быть известны .

4. Начальные условия не отличаются от начальных условий в идеальной жидкости: в некоторый момент должны быть заданы v, р, Т как функции координат х, у, z. Кроме того, должна быть задана поверхность раздела в момент .

Таким образом, требуется найти решение системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости, которое в момент удовлетворяло бы начальным условиям и во все моменты времени условиям на поверхности тела, условиям на поверхности раздела и условиям на бесконечности.

Методы современной математической физики, основанные на функциональном анализе, позволяют исследовать весьма широкий класс задач гидродинамики, уточнить их постановку и доказать теоремы существования и единственности решения, а также непрерывную зависимость решения от данных задачи.