§ 2. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Пусть выполнены условия теоремы Томсона, т. е. жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Тогда справедлива следующая теорема Лагранжа: если в некоторый момент времени в фиксированной массе жидкости нет вихрей, то их не было в предыдущие и не будет в последующие моменты времени.

Действительно, пусть в рассматриваемой массе жидкости, находящейся в объеме , в момент времени нет вихрей, т. е. . Тогда течение жидкости потенциально: и циркуляция скорости по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

Рассмотрим выделенную массу жидкости в любой другой момент времени и в ней возьмем произвольный контур . Любому контуру в момент t можно сопоставить контур в момент состоящий из тех же частиц жидкости, для которого справедлива формула (2.1).

По теореме Томсона циркуляция Г по контуру будет также равна нулю. Применяя формулу Стокса, получаем для любого момента времени

где S — поверхность, ограниченная контуром и целиком находящаяся в объеме, занимаемом жидкостью.

Поскольку для любой области S интеграл равен нулю, из (2.2) следует, чтой . Теорема Лагранжа составляет основу для рассмотрения безвихревых течений в гидромеханике идеальной жидкости, так как если движение жидкости безвихревое (потенциальное) в начальный момент времени, то оно будет безвихревым (потенциальным) и в последующие моменты времени.

Все предположения в теореме Лагранжа существенны. В частности, существенно не сформулированное явно предположение о гладкости поля скоростей.

В условиях Земли теорема Лагранжа является приближенной, так как массовые силы будут консервативны, если не учитывать силы Кориолиса, а сжимаемую жидкость можно рассматривать как баротропную, если пренебречь рядом факторов, например, теплопроводностью и др.