§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С НУЛЕВОЙ ТОЛЩИНОЙ
В этом и следующих параграфах излагается решение задачи обтекания тонкого профиля по методу Л. И. Седова.
Заменим профиль его средней линией и рассмотрим задачу обтекания дуги 
(рис. 35). В этом случае 
(см. (1.3), (1.5)).
Будем искать комплексную скорость возмущении 
удовлетворяющую на бесконечности условию
и на контуре условиям (1.15), которые теперь запишем в виде
Вместо 
рассмотрим вспомогательную функцию
Для однозначности выберем ту ветвь корня, которая обеспечивает его положительное значение при 
Аналитическая функция f(z) определена во внешности профиля, однозначна и в силу (3.1) стремится к нулю, когда 
стремится к бесконечности. Если найдем 
, то станет известной и искомая 
скорость возмущении 
.
Будем искать f(z) во внешности разреза (-а, а). Пусть 
— контур, охватывающий отрезок (-а, а), и 
— точка вне этого контура. Введем функцию комплексного переменного
считая 
параметром. Функция 
имеет полюс первого порядка в точке 
. Окружим эту точку замкнутым контуром 
и проведем кон 
так, чтобы он содержал внутри себя контуры 
. Обозначим через 
разрезы, соединяющие контур 
. Контур L (рис. 36), состоящий из контуров 
и разрезов 
проходимых дважды, ограничивает односвязную область, в которой функция 
регулярна. Интеграл от функции, вычисленный по этому контуру, равен нулю:
Рис. 36.
Поскольку интегралы по разрезам, проходимым в противоположных направлениях, в сумме дают нуль, из (3.5) следует, что
Первый интеграл в (3.6) вычислим по формуле Коши
Далее учтем, что равенство (3.6) имеет место при любых контурах 
Поэтому выберем в качестве контура 
окружность большого радиуса R и устремим R к бесконечности. Интеграл по 
при этом устремится к нулю, так как 
при 
.
Таким образом, равенство (3.6) примет вид
или
Специализируем теперь вид контура 
. Выберем 
в виде, указанном на рис. 37, и будем стягивать 
к отрезку (-а, а), устремляя 
к нулю. Интегралы по окружностям 
и при этом будут стремиться к нулю. В результате получим
Рис. 37.
Введем компоненты скорости 
в подынтегральные выражения в (3.8). Из определения (3.3) для 
следует
Так как на верхнем берегу разреза
а на нижнем
равенство (3.8) можно переписать в виде
Объединим в этом выражении члены с 
и члены с 
:
Учтем теперь граничные условия (3.2) для проекции на ось у скорости возмущений
и примем, что
Подставляя (4.7) в (4.6), получаем
Так как 
Из (4.8) видно, что постулат Чаплыгина — Жуковского выполняется, если задняя кромка профиля z — a — точка возврата 
.
