§ 3. РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА

Рассмотрим вопрос о силовом воздействии потока на тело. На поверхность тела со стороны жидкости действуют силы давления, приложенные к элементам поверхности S. Для главного вектора этих сил и для главного момента относительно начала координат можно записать выражения

где n — орт внешней нормали к поверхности S; r — радиус-вектор точки поверхности относительно начала координат.

Так как жидкость у нас идеальная, несжимаемая, массовые силы отсутствуют, течение безвихревое, то можно записать интеграл Лагранжа в системе

В бесконечно далекой точке скорость равна нулю и

откуда

Считая, что в бесконечно далекой точке потенциал скорости определен для неустановившихся течений с точностью до некоторой функции времени, получаем

где

Опуская штрихи, можем переписать (3.4) в виде

Подставив (3.6) в (3.1) и (3.2), получим

и

Выражения для R и L можно также получить и из закона количества движения и закона момента количества движения.

Возьмем произвольную неподвижную в пространстве поверхность , охватывающую поверхность S. Количество движения К жидкости, заключенной в объеме между поверхностями и , равно

Используя формулу Гаусса — Остроградского, приведем К к виду

Применяя закон количества движения к массе жидкости в объеме , будем иметь

где R — главный вектор сил, приложенных к поверхности со стороны жидкости, находящейся вне . Отсюда

Для R, учитывая (3.6), получаем

Количество движения частиц жидкости, находящихся в объеме , меняется со временем. Часть количества движения переносится через поверхность за счет жидкости, втекающей (вытекающей) через эту поверхность. Поэтому суммарное изменение за время количества движения жидкости в объеме равно

Последнее слагаемое в (3.14) соответствует изменению количества движения за счет жидкости, которая втекла в объем или вытекла из него за время через поверхность . Таким образом,

Подставляя (3.13) и (3.15) в (3.12), получим

Так как поверхность неподвижна, то поэтому

Учитывая, что на при больших R потенциал имеет порядок , a v — порядок получаем, что при интеграл по в (3.17) будет стремиться к нулю. Таким образом, устремляя R к бесконечности, находим, что сила, с которой действует безграничная жидкость на тело, такова:

Теперь получим формулу для главного момента сил давлений, приложенных к телу. Если I — момент количества движения жидкости в объеме и — главные моменты сил давлений, которые действуют на поверхности S и , то закон моментов запишется в виде

Согласно определению

Применяя формулу Гаусса — Остроградского, получаем

Вместо (3.12) будем иметь

Выражения для L и будут аналогичны выражениям (3.13) и (3.15):

Учитывая неподвижность 2 в пространстве, приходим к формуле, аналогичной (3.17); затем, устремляя R к бесконечности, получаем окончательно