§ 4. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ

Мы получили выражения (2.3) и (3.3) для проекций скорости через производные от функций . Сравнивая (2.3) и (3.3), получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока

Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция

Пример 3.

где q вещественно.

Рассмотрение этого примера удобнее вести в полярных координатах :

Линии тока будут лучами, выходящими из начала координат. Линии равного потенциала есть окружности r = const (рис. 18).

Рис. 17.

Рис. 18.

Замечание о вычислении скоростей потенциального потока в криволинейных координатах. Пусть имеется потенциал скоростей . Тогда

Пусть криволинейные ортогональные координаты. Элементы дуг соответствующие приращению координаты равны , где — коэффициенты Ламе. Проекции скоростей вычисляются по формулам .

Для цилиндрических координат коэффициенты Ламе равны и проекции скоростей запишутся в виде

Вернемся к рассмотрению течения, определяемого комплексным потенциалом . Проекции скоростей на оси полярных координат будут

Отсюда видно, что скорость постоянна по величине на каждой окружности с центром в начале координат, направлена по радиусу и убывает с ростом расстояния . При скорость направлена от центра при — к центру . Формула (5.1) дает комплексный потенциал течения от источника (стока), расположенного в начале координат.

Рис. 19.

Выясним смысл величины q. Подсчитаем расход жидкости Q через контур, охватывающий начало координат. Записывая интеграл по замкнутому контуру как интеграл от А до В, где A и В — совпадающие точки контура, получим

Таким образом, q — обильность источника. При имеем источник, при — сток (источник отрицательной обильности). Если источник расположен не в начале координат, а в точке то комплексный потенциал будет иметь вид

Пример 4. Пусть в точке А плоскости расположен источник обильности q, в точке В — источник обильности —q (сток), причем комплексные координаты точек (рис. 19)

Комплексный потенциал течения, вызываемого каждым из источников, имеет вид

Комплексный потенциал суммарного течения

Предположим, мы рассматриваем такую точку z, что . Тогда, раскладывая логарифмы в ряды по у, получаем

Пусть , а обильность , причем так, чтобы произведение оставалось постоянным: . Тогда для такого предельного течения комплексный потенциал будет иметь вид

Формула (5.2) дает комплексный потенциал течения от расположенного в начале координат диполя с моментом М и осью диполя, образующей угол а с осью х. Ось диполя принято направлять от стока к источнику.

Рис. 20.

Изучим картину течения от диполя. Не уменьшая общности, положим т. е. рассмотрим диполь, расположенный в начале координат, ось которого совпадает с осью Ох (рис. 20). Функции будут иметь вид

Линии тока есть линии, на которых

Линии тока — окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси у. Аналогично линии равного потенциала — окружности , проходящие через начало координат с центрами на оси х.

Скорости легко вычислить, имея (5.3). Если , то вся картина поворачивается на угол а. Если диполь расположен в точке

Пример 5.

В полярных координатах

Линии тока есть окружности с центром в начале координат, линии есть лучи (рис. 21).

Частицы жидкости перемещаются по окружностям со скоростями

Начало координат (центр окружностей) является особой точкой. Скорость при , т. е. положительному значению циркуляции соответствует движение по окружности против часовой стрелки. Иногда говорят о «направлении циркуляции», понимая под этим направление движения жидкости — против часовой стрелки, ( — по часовой)

Рис. 21.

Установим смысл величины Г. Возьмем контур I, охватывающий начало координат, и вычислим циркуляцию скорости у по этому контуру:

Таким образом Г — циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему начало координат.

Течение, определяемое (5.4), есть течение от вихря. Если вихрь расположен в точке z = а, то комплексный потенциал .

Пример 6. Рассмотрим течение, вызываемое присутствием в начале координат источника и вихря:

Течение, описываемое комплексным потенциалом (5.5), называется течением от вихреисточника. Найдем линии тока в этом течении:

Линии тока есть линии тока, на которых . Обозначим постоянную через тогда

Линии тока — логарифмические спирали. Линии — также логарифмические спирали, ортогональные к линиям . Если вихреисточник расположен в точке а, то