§ 4. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Выделим некоторый объем жидкости с массой М, ограниченный поверхностью S. На этот объем (массу) будут действовать объемные и поверхностные силы. Обозначим через работу объемных сил, через — работу поверхностных сил за промежуток времени

Вычислим работу объемных сил . К массе находящейся в элементе объема приложена сила . Работа этой силы при перемещении объема на равна

Работа за время сил, приложенных ко всей массе жидкости в объеме ,

Вычислим работу поверхностных сил. На площадку с нормалью действует сила . Работа этой силы на перемещении равна . Отсюда

Используя формулу Коши для ((3.7) гл. III) и применяя формулу Гаусса — Остроградского, находим

Складывая (4.1) и (4.3) и преобразуя второй интеграл, получаем

Для любой сплошной среды справедлив закон количества движения ((5.6) гл. III)

Поэтому (4.4) можно переписать в виде

Здесь через D обозначено выражение

Преобразуем первое слагаемое в (4.5), учитывая, что для несжимаемой жидкости (р = const) объем dx не меняется:

Из (4.7) следует, что первое слагаемое в (4.5) представляет собой изменение кинетической энергии Т за время dt. Таким образом,

Равенство (4.8) показывает, что работа, совершенная силами, приложенными к выделенной массе жидкости, лишь частично идет на изменение кинетической энергии.

Рассмотрим второе слагаемое в (4.8). Записывая скалярные произведения, входящие в (4.6), через проекции и подставляя вместо их выражения через составляющие тензора скоростей деформаций (аналогичные преобразования были проделаны в главе VIII, § 2), получим

Очевидно, что величина и обращается в нуль только тогда, когда все компоненты тензора скоростей деформации равны нулю, т. е. когда жидкость движется как абсолютно твердое тело.

Таким образом, при движении вязкой жидкости только часть работы, совершенной массовыми и поверхностными силами, идет на изменение кинетической энергии, а остальная часть как механическая энергия теряется (рассеивается, диссипирует), превращаясь в тепло. Здесь D — энергия, которая рассеивается за единицу времени в единице объема. При движении вязкой жидкости происходит диссипация механической энергии. Для идеальной жидкости , так как .