ГЛАВА XVI. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Предыдущие главы были посвящены рассмотрению течений идеальной жидкости, для которых существовал потенциал скорости . В этом случае и поскольку для любой функции f имеет место равенство , поле скоростей было безвихревым: .

В этой главе мы будем рассматривать вихревые движения, т. е. такие движения, у которых вектор вихря во всех точках области или какой-либо ее части не равен нулю: .

При изучении вихревых движений приходится иметь дело с такими понятиями, как циркуляция скорости и поток вектора вихря скорости через поверхность. Из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность:

Таким образом, циркуляция является одной из важных характеристик вихревых течений.

§ 1. ТЕОРЕМА ТОМСОНА

Прежде чем сформулировать и доказать теорему Томсона, получим один вспомогательный результат кинематического характера. Рассмотрим, как с течением времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисляемая по контуру, состоящему все время из одних и тех же частиц жидкости (так называемому «жидкому» контуру). Такой контур перемещается вместе с жидкостью и может деформироваться. Очевидно, что для жидкого контура

Рассмотрим незамкнутый жидкий контур АВ в различные моменты времени. Для такого контура

Для того чтобы составить представление об изменении производную

Очевидно, что пределы интегрирования A и В зависят от времени t. Перейдем в интеграле к такой переменной, у которой область интегрирования не зависит от времени. Пусть — положение кривой АВ в момент времени .

Введем координаты Лагранжа, а именно каждую точку (частицу) М на АВ в момент времени t будем характеризовать моментом времени t и положением частицы на кривой в начальный момент времени (рис. 43).

Положение частицы на можно задавать длинои дуги s, отсчитываемой от точки . Если r — радиус-вектор точки М, то , а скорость v и ускорение w согласно определению будут равны соответственно

Так как при интегрировании вдоль контура время t фиксировано и то (1.1) можно переписать в виде

Здесь длина дуги . В интеграле (1.4) пределы интегрирования постоянны, и при отыскании можно проводить дифференцирование под знаком интеграла:

Вдоль контура . Переходя к старым переменным, получаем

Если кривая замкнута , то

Таким образом, производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому (жидкому) контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

Применим полученный нами результат для доказательства так называемой теоремы Томсона: если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.

Для идеальной жидкости имеем

Так как жидкость баротропна , то существует функция такая, что .

Вследствие того, что массовые силы консервативны, . Поэтому, учитывая условия теоремы Томсона, будем иметь

Подставив (1.8) в доказанное равенство (1.6), получим

откуда

Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается для этого контура постоянной во все время движения.

Замечание. При записи (1.9) учитывается, что интеграл вычисляется для данного момента времени, поэтому .

Рис. 43.

Поскольку из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность, то из теоремы Томсона вытекает, что поток вектора вихря через поверхность S, ограниченную жидким контуром, не зависит от времени.