ГЛАВА XVI. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Предыдущие главы были посвящены рассмотрению течений идеальной жидкости, для которых существовал потенциал скорости 
. В этом случае 
и поскольку для любой функции f имеет место равенство 
, поле скоростей было безвихревым: 
.
В этой главе мы будем рассматривать вихревые движения, т. е. такие движения, у которых вектор вихря во всех точках области или какой-либо ее части не равен нулю: 
.
При изучении вихревых движений приходится иметь дело с такими понятиями, как циркуляция скорости и поток вектора вихря скорости через поверхность. Из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность:
Таким образом, циркуляция является одной из важных характеристик вихревых течений.
§ 1. ТЕОРЕМА ТОМСОНА
Прежде чем сформулировать и доказать теорему Томсона, получим один вспомогательный результат кинематического характера. Рассмотрим, как с течением времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисляемая по контуру, состоящему все время из одних и тех же частиц жидкости (так называемому «жидкому» контуру). Такой контур перемещается вместе с жидкостью и может деформироваться. Очевидно, что для жидкого контура 
Рассмотрим незамкнутый жидкий контур АВ в различные моменты времени. Для такого контура
Для того чтобы составить представление об изменении 
производную
Очевидно, что пределы интегрирования A и В зависят от времени t. Перейдем в интеграле к такой переменной, у которой область интегрирования не зависит от времени. Пусть 
— положение кривой АВ в момент времени 
.
Введем координаты Лагранжа, а именно каждую точку (частицу) М на АВ в момент времени t будем характеризовать моментом времени t и положением 
частицы на кривой 
в начальный момент времени 
(рис. 43).
Положение частицы на 
можно задавать длинои дуги s, отсчитываемой от точки 
. Если r — радиус-вектор точки М, то 
, а скорость v и ускорение w согласно определению будут равны соответственно
Так как при интегрировании вдоль контура время t фиксировано и 
то (1.1) можно переписать в виде
Здесь 
длина дуги 
. В интеграле (1.4) пределы интегрирования постоянны, и при отыскании можно проводить дифференцирование под знаком интеграла:
Вдоль контура 
. Переходя к старым переменным, получаем
Если кривая замкнута 
, то
Таким образом, производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому (жидкому) контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.
Применим полученный нами результат для доказательства так называемой теоремы Томсона: если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.
Для идеальной жидкости имеем
Так как жидкость баротропна 
, то существует функция 
такая, что 
.
Вследствие того, что массовые силы консервативны, 
. Поэтому, учитывая условия теоремы Томсона, будем иметь
Подставив (1.8) в доказанное равенство (1.6), получим
откуда
Таким образом, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, остается для этого 
контура постоянной во все время движения.
Замечание. При записи (1.9) учитывается, что интеграл вычисляется для данного момента времени, поэтому 
.
Рис. 43.
Поскольку из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность, то из теоремы Томсона вытекает, что поток вектора вихря через поверхность S, ограниченную жидким контуром, не зависит от времени.
