§ 14. ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ
Пусть в плоскости х, у мы имеем отрезок [-а, а], расположенный вдоль оси х. На этот отрезок под углом а набегает поступательный поток, скорость которого в бесконечности равна 
.
Нам известно решение задачи об обтекании круглого цилиндра. Чтобы воспользоваться им, надо знать конформное отображение внешности круга на внешность отрезка [-а, а]. Преобразование Жуковского
Рис. 29.
переводит круг единичного радиуса в плоскости 
в отрезок прямой плоскости 
(рис. 29). Действительно, на окружности 
имеем 
. Подставив эти значения 
в (14.1), получим
т. е. окружность переходит в дважды пробегаемый отрезок 
оси 
(верхняя полуокружность переходит в верхний берег разреза, нижняя — в нижний).
Получим преобразование, обратное (14.1), т. е. функцию 
Согласно (14.1)
Чтобы преобразование 
переводило внешность отрезка во внешность круга, надо выбрать в (14.4) знак плюс. Таким образом, обратное преобразование имеет вид
Имея (14.5), можем записать комплексный потенциал обтекания пластинки. Учитывая, что в нашем случае
получим
Заметим, что формулу (14.7) можно было бы получить непосредственно из формулы (8.9), рассматривая пластинку как предельный случай эллиптического цилиндра, у которого полуось b = 0.
В формулу (14.7) входит циркуляция Г. Для ее определения имеем постулат Чаплыгина—Жуковского. Непосредственное его применение затруднительно, так как у пластинки имеются две острые кромки. Нас интересует пластинка как модель закругленного спереди тонкого профиля с задней острой кромкой. Скорость в задней острой кромке будет конечна, если в соответствии с постулатом Чаплыгина — Жуковского циркуляцию определим по формуле (9.9):
Здесь a — угол, образуемый направлением невозмущенного потока с осью 
— угол, определяющий положение в плоскости 
точки А, в которую переходит задняя острая кромка А.
В нашем случае 
, и выражение для циркуляции будет
Соответственно выражение для комплексного потенциала можно записать в виде
Здесь 
. Имея комплексный потенциал, можем найти комплексную скорость у и ее составляющие 
в точках пластины. Картина обтекания приведена на рис. 30, а.
Определим силу, действующую на пластинку, используя формулу (14.8) для циркуляции. По теореме Жуковского
(14.10)
Откуда
(14.11)
Интересно отметить следующее. Хотя в идеальной жидкости все элементарные напряжения нормальны к пластинке, возникает результирующая сила 
, направленная по касательной к ней. Это связано с тем, что постулат Чаплыгина — Жуковского накладывает ограничение на величину скорости лишь у задней острой кромки. Если представить себе переднюю кромку закругленной, имеющей малый радиус кривизны, то скорости вблизи носовой части будут очень велики, а давление, согласно уравнению Бернулли, мало.
Рис. 30.
Образующаяся разность давлений между кормовой и носовой частями профиля приводит к появлению некоторой «подсасывающей» силы, параллельной оси х. Если радиус кривизны закругления устремить к нулю, то скорость вблизи передней кромки будет неограниченно возрастать, а давление — падать. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что при этом «подсасывающая» сила будет стремиться к некоторой предельной величине, совпадающей со значением 
из (14.11).
Величина силы Жуковского для пластинки
(14.12)
Часто рассматривают коэффициент подъемной силы
В случае плоского течения за S принимают произведение хорды на единицу размаха крыла. В нашем случае 
и
(14.14)
При малых углах а
(14.15)
Ранее была получена формула (13.9) для момента сил, действующих на профиль. Учитывая (14.6), получим выражение для момента сил, действующих на пластинку, в виде
(14.16)
Учитывая (14.12), выражение для L можно записать в виде
(14.17)
Из (14.17) следует, что точка приложения равнодействующей силы находится на расстоянии -j части хорды от передней кромки (рис. 30,б).
Эксперимент показывает, что результаты, полученные при рассмотрении обтекания пластинки, могут быть использованы для тонких профилей при малых углах атаки.
