§ 2. ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА К ПЕРЕМЕННЫМ ЭЙЛЕРА И ОБРАТНО

1. Пусть задача математического описания движения жидкости решена в переменных Лагранжа и требуется записать решение в переменных Эйлера. В переменных Лагранжа решение имеет вид

Так как между координатами x, у, z и а, b, с имеет место взаимно-однозначное соответствие, то якобиан

При и якобиан равен единице. Систему (2.1) можно разрешить относительно а, b, с и найти

Подставив (2.5) в (2.2) и (2.3), получим решение задачи, записанное в переменных Эйлера:

2. Пусть задача решена в переменных Эйлера. Это значит, что гидродинамические величины известны в виде (2.6) и (2.7). Чтобы осуществить переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, надо прежде всего найти формулы вида (2.1), связывающие координаты x, у, z с переменными а, b, с, t. В формулах (2.1) величины а, b, с играют роль начальных координат, постоянных для каждой частицы, а время t — независимая переменная. Поэтому, рассматривая координаты частицы как функции времени, можем написать

Но известны в виде (2.6). Подставив (2.6) в правые части (2.8), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для отыскания искомой зависимости вида (2.1)

Проинтегрировав систему (2.9), найдем х, у, z как функции t:

Здесь — произвольные постоянные. По определению при . Подставляя эти значения в (2.10) и решая полученные равенства относительно находим как функции а, b, с. Подставляя в (2.10) и опуская при написании аргумент , так как он один и тот же для всей задачи, получаем искомые формулы (2.1). Если теперь формулы (2.1) подставить в известные выражения для гидродинамических величин (2.6) и (2.7), то получим эти величины в переменных Лагранжа.

Замечание. Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа более сложен, так как он связан с необходимостью интегрировать систему дифференциальных уравнений.