ГЛАВА II. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАСС

Одним из основных законов механики является закон сохранения масс. Это физический закон, справедливый для движений, происходящих со скоростями, незначительными по сравнению со скоростью света. В этой главе будут получены различные математические формы записи этого закона.

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС

Рассмотрим в момент времени t некоторый объем жидкости , ограниченный поверхностью S. Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент t в объеме , перемещаясь, заполнят в момент t объем с массой М.

Предположим, что в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы; тогда закон сохранения массы запишется в виде

По определению плотности р масса в объеме dx равна . Масса в объемах тих соответственно будет

Закон сохранения массы примет вид

или

Предположим, что в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, имеются пространственно-распределенные источники.

Пусть в объем в течение промежутка времени за счет источников поступает масса жидкости . Здесь q имеет смысл поступающей за счет источников массы жидкости, отнесенной к единице объема и единице времени. Поэтому величину q можно назвать плотностью источников.

Масса жидкости, которая в момент t находилась в объеме , будет изменяться во время движения. За время dt она получит приращение .

За конечный промежуток времени от t до приращение массы будет равно

Теперь можем записать

Подставляя (1.2) и (1.5) в (1.6), получаем

Равенство -запись закона сохранения масс при наличии пространственно-распределенных источников для конечного объема и конечного промежутка времени.

Дадим интегральную запись закона (1.7) для бесконечно малого промежутка времени. Предположим . Тогда (1.7) можно записать в виде

Поделив (1.8) на и устремив к нулю, получим

Равенство (-запись закона сохранения масс для конечного объема для данного момента времени при наличии пространственно-распределенных источников.