§ 8. ЗАКОН АРХИМЕДА

Будем рассматривать однородную несжимаемую жидкость в поле силы тяжести. Массовые силы . Задача о равновесии такой жидкости решена в § 4, где была получена формула для давления

Введем вместо z координату z, положив

т. е. будем отсчитывать z от так называемого приведенного уровня при . Тогда формула для давления примет вид

Пусть в жидкость погружено тело. Поверхность этого тела S, объем . Вычислим главный вектор и главный момент L сил, действующих со стороны жидкости на тело. Подставляя (8.2) в формулы (7.7) и учитывая при этом, что поверхность S замкнутая, находим проекции главного вектора

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объеме этого тела.

Вычислим проекции главного момента. Используя формулы (7.8), получаем

Введем координаты центра тяжести объема

Тогда выражения для можно записать в виде

Формулы (8.4) решают задачу о нахождении момента.

Известно, что система сил приводится к одной равнодействующей, если скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю. В нашем случае это имеет место:

Выберем начало координат так, чтобы т. е. чтобы ось проходила через центр тяжести объема. Тогда все составляющие момента будут равны нулю.

Таким образом, система сил, действующих на тело, погруженное в однородную несжимаемую жидкость, находящуюся в поле сил тяжести, статически эквивалентна одной силе, равной по величине весу жидкости в объеме тела и направленной вертикально вверх, причем линия действия этой силы проходит через центр тяжести объема тела.