§ 7. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕНЗОРАХ

Здесь будем рассматривать трехмерное ортогональное пространство с декартовыми координатами с ортами . Все результаты этого параграфа легко обобщаются на случай евклидова пространства любого числа измерений.

1. Вектор (тензор первого ранга).

Рассмотрим две системы координат: . Их взаимное расположение характеризуется следующей таблицей направляющих косинусов

где — угол между ортами осей.

Пусть r — радиус-вектор точки с координатами

Проектируя на оси получим формулы преобразования координат

или в общем виде

Пусть a — некоторый вектор, — проекции вектора а на оси . Тогда

Проектируя (7.4) на направления осей , получаем проекции вектора в новой системе

или

Формулы (7.5) — формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой — мы получили, трактуя вектор как направленный отрезок. Можно, однако, формулы (7.5) положить в основу следующего определения вектора.

Если в каждой декартовой системе координат заданы три числа . причем при любом линейном ортогональном преобразовании координат эти числа преобразуются по формуле (7 5), то говорят, что величины образуют аффинный ортогональный вектор .

В определении присутствует слово «аффинный», так как преобразование координат линейное, и слово «ортогональный», так как используются только ортогональные преобразования координат. В дальнейшем мы будем использовать только линейные ортогональные преобразования координат, не оговаривая этого.

Если для ортов осей написать выражения через их проекции на оси

и использовать ортогональность ортов , то получим формулы, связывающие направляющие косинусы между собой:

Используя символ Кронекера , формулы (7.7) можно записать в виде

2. Тензор второго ранга.

Рассмотрим два вектора: а и b с проекциями . Из компонент этих векторов можно образовать таблицу девяти величин

где, очевидно,

Поставим вопрос: как преобразуются величины при переходе от одной системы координат к другой?

По определению величин с, имеем для новой системы координат :

На основании формул (7.5) можем написать

Подставляя (7.12) в (7.11), имеем

Так как , то (7.13) можно переписать в виде

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение: если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга).

Рассмотрим следующие примеры.

1. Таблица

образует тензор второго ранга, который во всех системах координат имеет одни и те же компоненты. В этом легко убедиться, применяя формулы (7.5) и учитывая (7.7). Тензор I называется единичным.

2. Как мы уже показали вначале, таблица , составляющие которой образованы из произведений компонент двух векторов: , так что , является тензором. Этот тензор называется диадой, образованной из векторов а и b.

3. Пусть компоненты некоторого вектора а являются функциями координат . Легко показать, что таблица в которой образует тензор второго ранга, т. е. совокупность частных производных от компонент вектора по координатам образует тензор второго ранга.

3. Тензор любого ранга.

Если в каждой декартовой системе координат задана таблица величин с индексами

и если компоненты этой таблицы при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам

то говорят, что совокупность величин определяет аффинный ортогональный тензор ранга (или просто тензор ранга ). Примером тензора ранга является совокупность произведений компонент векторов.

Формула (7.15), как и формулы (7.5) и (7.14), линейна относительно величин суммирование в ней идет по вторым индексам, она содержит произведение направляющих косинусов.

С этой общей точки зрения скаляр (величина, не меняющаяся при переходе от одной системы координат к другой) есть тензор нулевого ранга, вектор есть тензор первого ранга.

4. Действия с тензорами.

Сложение тензоров. Если имеются два тензора ранга :

то величины

определяют новый тензор С, который называется суммой тензоров А и В:

Умножение тензора на скаляр. Если имеем некоторый тензор ранга и скаляр а, то совокупность величин определяет новый тензор ранга , который называется произведением исходного тензора С на скаляр а:

Умножение тензоров. Если имеем два тензора: тензор А ранга m и тензор В ранга n:

то, умножая каждую компоненту первого тензора на каждую компоненту второго тензора, получаем совокупность величин, которые образуют новый тензор С ранга :

Тензор С называется произведением (тензорным) тензоров А и В. В том, что совокупность величин действительно образует тензор ранга , легко убедиться, применяя формулы (7.15).

Дифференцирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга n являются функциями координат . Тогда совокупность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензор ранга , т. е. при дифференцировании по координатам ранг тензора повышается на единицу.

Свертывание тензоров (сокращение индексов). Пусть имеем некоторый тензор ранга . Выберем у компонент этого тензора два каких-либо выберем из всех компонент тензора такие, у которых эти два индекса одинаковы:

, и, наконец, просуммируем выбранные компоненты по общему индексу . Тогда величины

образуют тензор С ранга который называется сверткой исходного тензора по индексам и

Представление тензора в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор второго ранга называется симметричным, если его компоненты не изменяются при перестановке индексов . Тензор второго ранга называется антисимметричным, если его компоненты меняют знак при перестановке индексов, т. е. . Общий вид антисимметричного тензора

При преобразовании координат свойства симметричности и антисимметричности сохраняются. Покажем, что каждый тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Пусть дан тензор Образуем новый тензор и построим тензор, равный полусумме тензоров С и С*:

Тензор S симметричен. Положим . Компоненты тензора R будут иметь вид

Очевидно, что , т. е. тензор R антисимметричен.

Таким образом,

Тензор S называют симметричной, а тензор R — антисимметричной частями тензора С. Приведем некоторые примеры.

1. Рассмотрим скаляр (тензор нулевого ранга). Совокупность производных первого порядка по координатам

определяет некоторый вектор А (тензор первого ранга). Этот вектор А называется градиентом функции

2. Рассмотрим тензор второго ранга, образованный из векторов а и b, — диаду

Образуем свертку. Для нее имеем

Таким образом, свертка есть скаляр (тензор нулевого ранга), известный как скалярное произведение

3. Рассмотрим тензор второго ранга и единичный тензор второго ранга . Умножая каждую компоненту тензора С на каждую компоненту тензора , получаем тензор четвертого ранга

Можно произвести свертывание этого тензора по значкам i и либо по k и n. При этом придем либо к исходному тензору, либо к тензору с переставленными строками и столбцами.

5. Псевдотензоры.

Обозначим через определитель, образованный из направляющих косинусов преобразования осей в оси . Известно, что

Причем если правая (левая) система координат преобразуется в правую (левую), и , если правая (левая) система координат преобразуется в левую (правую). Введем теперь понятие псевдотензора.

Если для каждой прямолинейной ортогональной системы координат имеется совокупность величин преобразующихся по формулам

в величины отвечающие другой системе координат , то совокупность этих величин определяет новую величину

которая называется аффинным ортогональным псевдотензором ранга п.

Из формулы (7.16) видно, что когда рассматривается преобразование правой системы координат в левую (или наоборот), то и компоненты псевдотензора меняют знаки на обратные по сравнению с компонентами тензора.

Если же при преобразовании правая (левая) система координат переходит в правую (левую), то различия в формулах преобразования тензоров и псевдотензоров нет . Поэтому когда в рассмотрении имеют дело только с правой системой координат, псевдотензоры часто называют просто тензорами. Приведем примеры псевдотензоров.

1. Векторное произведение векторов а и b меняет знак на обратный при переходе от правой системы к левой (и наоборот), т. е. — псевдотензор первого ранга (псевдовектор).

2. Угловая скорость вращения твердого тела является псевдовектором.

3. Псевдотензор Леви — Чивита — псевдотензор третьего ранга . антисимметричный по всем парам индексов и удовлетворяющий условию в какой-либо правой системе координат. Все его компоненты, имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, и тензор имеет только шесть компонент, у которых все три индекса различны. Составляющие принимают значение, равное единице, если — четная перестановка тройки (1, 2, 3), и равное —1, если i, k, l — перестановка нечетная. Таким образом,

Во всех правых системах координат псевдотензор Леви — Чивита имеет один и тот же вид.

6. Умножение псевдотензоров и тензоров.

Произведение псевдотензора на псевдотензор является тензором (так как Если А и В — псевдотензоры рангов m и n, то тензор ранга . Произведение тензора на псевдотензор является псевдотензором. Если А—тензор ранга m, В — псевдотензор ранга n, то — псевдотензор ранга .

Рассмотрим примеры.

1. Возьмем псевдотензор Леви — Чивита и тензор второго ранга, образованный из векторов а и b (диаду):

Перемножив псевдотензор D на тензор С, получим псевдотензор пятого ранга

Выполним два раза операцию свертывания по индексам и р и индексам m и q. При двухкратном свертывании ранг псевдотензора понизится на четыре и получим псевдотензор первого ранга (псевдовектор R). Положим . Тогда

Используя значения , получаем

Из выражений для проекций видно, что , т. е. R — векторное произведение векторов а и b.

2. Если псевдотензор Леви — Чивита D умножить на тензор второго ранга , где — составляющие вектора а, то получим псевдотензор пятого ранга.

Если этот тензор свернуть дна раза по индексам i и n и индексам k и m, то получим псевдотензор первого ранга. Это будет rot a.

7. Примечание.

В теории аффинных ортогональных тензоров использовались прямолинейные ортогональные координаты и их преобразование опять в прямолинейные ортогональные координаты. Эти линейные ортогональные преобразования определялись таблицей направляющих косинусов. Можно рассматривать и неортогональные линейные преобразования.

Пусть преобразование координат определяется формулой

Тогда для инвариантной функции получим

Вообще говоря, матрицы не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора r различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариантные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого А, - преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины определяют ковариантный вектор, если при переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат.