ГЛАВА 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Классификация методов
Главой о численных методах решения систем линейных алгебраических уравнений мы начинаем второй раздел нашей книги, посвященный решению алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и интегральных уравнений. Системы линейных алгебраических, уравнений наиболее просты и в то же время к ним приводятся многие задачи численного анализа.
Известное из курса высшей алгебры правило Крамера для решения; систем линейных алгебраических уравнений практически невыгодно, так как требует слишком большого количества арифметических операций и записей. Поэтому было предложено много различных способов, более пригодных для практики. И в настоящее время значительная часть литературы по вычислительной математике посвящена этому вопросу. Однако сейчас еще нельзя указать один или несколько способов наиболее эффективных в смысле быстроты получения решения с нужной точностью и минимального использования запоминающих устройств. Требуется большая и тщательная теоретическая и экспериментальная сравнительная оценка многочисленных известных способов с этой точки зрения. Мы дадим в этой главе лишь несколько уже давно испытанных методов и несколько методов, имеющих с нашей точки зрения перспективы для практики.
Используемые практически методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две большие группы: так называемые точные методы и методы последовательных приближений. Точные методы характеризуются тем, что с их помощью принципиально возможно, проделав конечное число операций, получить точные значения неизвестных. При этом, конечно, предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления производятся без округлений. Чаще всего они осуществляются в два этапа. На первом этапе преобразуют систему к тому или иному простому виду. На втором этапе решают упрощенную систему и получают значения неизвестных.
Методы последовательных приближений характеризуются тем, что с самого начала задаются какими-то приближенными значениями
неизвестных. Из этих приближенных значений тем или иным способом получают новые «улучшенные» приближенные значения. С новыми приближенными значениями поступают точно так же и т. д. При выполнении определенных условий можно придти, вообще говоря, после бесконечного числа шагов к точному решению.
Под нашу классификацию не подходят способы решения по методу Монте-Карло. Так названы методы, использующие случайные величины, математические ожидания которых дают решение системы. Пока методы Монте-Карло не могут соревноваться с другими методами, названными выше. Поэтому мы не будем ими здесь заниматься.
