6. Метод Массо численного решения квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка.
Рассмотрим теперь квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка гиперболического типа
Для этого уравнения мы получили следующие уравнения характеристик:
Снова предположим, что в двух близких точках 1 и 2 плоскости х, у известны значения 
т. е. известны точки 
Рис. 60. Первая смешанная задача.
Рис. 61. Первая смешанная задача.
Проведем через точку 1 прямую в направлении характеристики 1-го семейства, выходящей из этой точки, а через точку 2 — прямую в направлении характеристики 2-го семейства, выходящей из точки 2. Координаты 
точки их пересечения удовлетворяют уравнениям:
где 
— значения 
вычисленные в точке 
Далее, заменяя в дифференциальных соотношениях входящие в них дифференциалы конечными разностями, будем иметь систему уравнений для отыскания 
и
значения 
в точке 
. (Последнее соотношение мы получили, заменив в дифференциальных соотношениях для обеих характеристик дифференциалы конечными разностями, а затем взяв их полусумму.)
Таким образом, решая последовательно системы (46) и (47), мы найдем первое приближение точки 3: 
Уточнение полученных значений может быть выполнено способами, совершенно аналогичными тем, которые были описаны в п. 3, где было рассмотрено решение системы двух квазилинейных уравнений первого порядка. Решение задач Коши, Гурса и смешанных задач также не будет по существу отличаться от решения соответствующих задач, описанных там, поэтому мы не будем на них останавливаться. Заметим лишь, что при постановке задачи Коши и первой смешанной задачи на кривой, не являющейся характеристикой, мы должны задать функцию и и производную от нее по направлению, не касательному к кривой, несущей начальные значения, так как по этим данным в точках этой кривой могут быть вычислены обе частные производные. Во второй смешанной задаче не на характеристике можно задать функцию и или линейную комбинацию ее частных производных.
Пример. Найти методом характеристик несколько значений решения системы уравнений
удовлетворяющего начальным условиям
Дифференциальные уравнения характеристик этой системы имеют вид:
Для численного решения задачи возьмем на отрезке, несущем начальные данные, шесть равноотстоящих точек. Координаты этих точек и значения 
в них приведены в таблице:
Для отыскания координат точки 
лежащий .на пересечении характеристик двух разных семейств, выходящих из точек 
и значений 
в этой точке имеем систему уравнений
где
Отсюда получаем следующие расчетные формулы:
Итерации проводим до тех пор, пока 
будут с заданной точностью равны соответственно 
Рис. 62.
Для точки 7 (рис. 62) итерации величин 
ведут себя следующим образом:
(см. скан)
Ниже приведены окончательные результаты для двух слоев точек, округленные до третьего десятичного знака. В скобках указаны погрешности приближенных значений и 
т. е. разности значений и 
и значений точного решения 
в точках 
в единицах третьего десятичного разряда.
(см. скан)
(см. скан)
На рис. 62 изображено примерное расположение точек 
(масштаб по оси х в два раза больше, чем оси 
