Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Метод Ланцоша1. Отыскание собственных значений.Решение систем (25) или (42) предыдущего параграфа для определения коэффициентов характеристического или минимального многочлена можно осуществлять методами ортогонализации, изложенными в § 4 главы 6. Процесс ортогонализации целесообразно проводить после каждого умножения на матрицу А. В настоящем параграфе мы и рассмотрим возникающие при этом алгорифмы. Выбираем произвольный начальный вектор
был ортогонален к вектору
Может оказаться, что
был ортогонален к векторам
Если окажется, что
даст линейную зависимость между векторами
будет делителем минимального многочлена матрицы А. Если же Пусть нами уже найдены векторы
Тогда подбираем коэффициенты
был ортогонален к каждому из векторов
Параллельно с построением системы взаимно ортогональных векторов
Так как в нашем пространстве имеется не более
даст линейную зависимость векторов
будет делителем минимального многочлена матрицы А. При Для симметрической матрицы А равенства (7) упрощаются. Действительно, в этом случае
и если —1, то
Аналогичное упрощение можно получить и для несимметрической матрицы, заменив процесс ортогонализации процессом биортогонализации, подобно тому как это сделано в § 4 главы 6. Будем исходить из двух начальных векторов
Коэффициенты
В дальнейшем будем предполагать, что
так, чтобы оказалось
При этом будем иметь:
и наше построение возможно, если
причем эти две системы биортогональны, т. е.
Тогда строим векторы
так, чтобы
Условия (25) дают
Таким образом соотношения (24) примут вид
Наши построения будут возможны до тех пор, пока
Все эти три случая могут встречаться фактически. Продемонстрируем это на примере матрицы (44) § 2. а) Возьмем сначала
Тогда
и
Следовательно,
Далее,
Отсюда
и
Продолжая процесс, найдем:
б) Возьмем теперь
При
в) Наконец, если взять
то
и
Если минимальный многочлен матрицы А имеет степень Предполагая, что мы получили
В частности, в рассмотренных нами примерах будем иметь: в случае
в случае (38)
Такой способ получения минимального многочлена или его делителя будем называть методом Ланцоша. Пусть процесс, осуществляемый по методу Ланцоша, продолжается до
где
где
то
Поэтому
Таким образом, в рассматриваемом случае наш процесс эквивалентен приведению матрицы А к тридиагональной форме. Если производить процесс Ланцоша без указанных упрощений, то он будет эквивалентен приведению матрицы А к верхней треугольной форме. В симметрическом случае всегда получим тридиагональную форму. Случай
где клетки Вернемся еще раз к вопросу о применении метода Ланцоша в случае симметрической матрицы А. Этот случай особенно выгоден для этого метода. Прежде всего отметим, что для симметрической матрицы
причем знак равенства будет достигаться лишь при
следует, что никакие два многочлена Изучим теперь взаимное расположение корней
Пусть это выполнено для
и, следовательно, в силу (52)
По предположению индукции Из доказанного следует, что совокупность многочленов Подсчитаем число операций умножения и деления, необходимых Для получения характеристического многочлена симметрической матрицы А порядка коэффициентов
операций умножения и деления. Нам еще придется подсчитать
операций умножения. Таким образом, всего для получения характеристического многочлена матрицы А потребуется
операций умножения и деления.
|
1 |
Оглавление
|