1. Метод Лина выделения множителей.

Метод Лина, или метод предпоследнего остатка, выделения множителя степени из многочлена

состоит в следующем. За начальное приближение берется некоторый многочлен степени

и производится деление на до тех пор, пока в остатке получится многочлен степени предпоследний остаток. За следующее приближение берется этот остаток, деленный на коэффициент при приведенный предпоследний остаток, далее процесс повторяется, т. е. если уже найдено приближение к

то определяется как приведенный предпоследний остаток от деления многочлена на Процесс продолжают до

тех пор, пока коэффициенты двух последовательных приближений будут совпадать в пределах заданной точности.

Практически приемлемых критериев сходимости этого метода в общем случае нет. Приведем без доказательства один результат, практическая ценность которого невелика.

Если — корни выделяемого множителя — частное от деления на т. е. то сходимость метода Лина будет иметь место в случае, когда

по модулю меньше единицы и начальное приближение выбрано достаточно близко к . В случае, если наибольшее из них по модулю есть действительное число, то сходятся к нулю со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, равным модулю этого числа.

При практическом применении метода Лина чаще всего выделяют линейные и квадратичные множители, так как только эти множители заранее можно определить достаточно точно и применять процесс Лина для их уточнения. Но только в случае выделения линейных множителей, соответствующих действительным корням уравнения можно дать простые критерии сходимости метода.

Пусть выделяется множитель его приближение, тогда имеет место тождество

где есть приближение. Из этого тождества имеем:

или

откуда

Это равенство можно рассматривать как итерацию для отыскания корня а уравнения

Так как

то при выполнении условия найдется некоторая окрестность корня в которой будет иметь место неравенство

и итерация (15) будет сходиться, если начальное приближение взято из этой окрестности. Условие будет иметь место, если а — наименьший по модулю корень уравнения при условии, что все корни уравнения действительны и одного знака. В самом деле, если в этом случае расположить все корни в порядке возрастания их модулей, т. е.

то

и

и так как все отношения — положительны и

меньше единицы, то

Пример. Выделить множитель второй степени из многочлена

В качестве начального приближения возьмем многочлен

Не приводя промежуточных вычислений, которые сводятся к делению многочлена на трехчлен до получения предпоследнего остатка, что можно выполнить по схеме:

где последняя строка есть сумма первых трех, при этом предпоследнее частное, предпоследний остаток, приведем результаты вычислений для данного примера.

(см. скан)

Последнее частное в общем случае имеет вид

и будет являться приближенным представлением второго множителя, дополняющего искомый множитель до . В нашем примере после 32 шагов имеем:

Точное разложение имеет вид

Получили хорошее приближение, хотя начальный множитель далек от истинного.

Если использовать полученное разложение для отыскания корней уравнения

то получим для корней следующие значения:

Истинные же значения корней с четырьмя верными десятичными знаками: