§ 4. Метод ортогонализации

Пусть дана система

порядка Здесь мы, чтобы избежать в дальнейшем путаницы, над векторами поставили черточки. Решение системы будем разыскивать в виде

где векторов, удовлетворяющих условиям

Здесь рассматривается обычное скалярное произведение векторов в -мерном векторном пространстве, т. е. если то Пусть такие векторы найдены. Как это делается, будет показано ниже. Рассмотрим скалярное произведение обеих частей системы (1) с х:

Используя (2), получим:

или, в силу выбора векторов

Итак, для определения коэффициентов мы получили систему с треугольной матрицей. Определитель этой системы равен

Следовательно, если то возможно найти и находятся они без труда.

Особенно легко определятся если матрица А симметрическая. В этом случае, очевидно,

и, следовательно,

Тогда система для определения принимает вид

и

Метод можно обобщить. Пусть каким-то образом удалось найти систему векторов так, что

Умножая обе части равенства (1) на и используя представление х через как и ранее, получим:

Опять получилась система линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей для определения Несколько усложнив вычисления, можно получить систему диагонального вида. Для этого построим три системы векторов

так что имеют место равенства:

Тогда

так как при

и при

Таким образом,

Остановимся подробнее на первом из описанных методов. Рассмотрим случай, когда матрица А симметрическая и положительно определенная. Последнее означает, что для любого вектора х квадратичная форма его компонент больше или равна нулю, причем равенство нулю возможно в том и только том случае, если вектор х нулевой. Как мы видели ранее, нужно построить систему векторов удовлетворяющих условиям

Это построение можно осуществить следующим образом. Исходим из какой-то системы линейно независимых векторов

например из системы единичных векторов, направленных по координатным осям:

Далее проводим «ортогонализацию» также, как это делалось в предыдущей главе. Принимаем и ищем виде

Из условия находим:

Ищем в виде

Условия влекут за собой

Далее поступаем так же.

Процесс будет осуществим, так как все Это же обеспечит нам разрешимость системы для определения коэффициентов Заметим, что в нашем случае это будет процесс настоящей ортогонализации, как он проводился в предыдущей главе, если в пространстве векторов ввести новое скалярное произведение при помощи соотношения

Нетрудно проверить, что введенное таким способом скалярное произведение будет удовлетворять всем требованиям, которые к нему предъявляются.

При решении системы уравнений по настоящей схеме требуется произвести

операций умножения и деления.

Приведем пример на применение этого метода. Возьмем опять ту же систему, которую мы решали по методу квадратного корня. Верхняя часть схемы заполнена коэффициентами и правыми частями

системы. Мы не проверяем здесь положительную определенность матрицы А, так как это условие не является необходимым для проведения процесса. Вторая сверху часть схемы заполнена компонентами векторов коэффициентами Они разделены ломаной линией. Содержание остальных частей не вызывает сомнений. В силу ошибок округления недиагональные элементы нижней части будут отличны от нуля. Их можно подсчитывать для контроля. Их можно также использовать в системе и решать последнюю методом последовательных приближений. В силу значительного преобладания диагональных элементов метод будет быстро сходиться.

(см. скан)

В случае несимметрической матрицы процесс ортогонализации проводится точно так же. Пусть векторы уже построены. Тогда ищется в виде

Коэффициенты определяются из системы

Система в случае несимметрической матрицы будет треугольной.

Аналогично строится система «биортогональных» векторов, система векторов, удовлетворяющих условию (12). При этом -произвольные и линейно независимых векторов, а векторы строятся последовательно в виде

Коэффициенты находятся из системы

Так же поступаем, отыскивая коэффициенты и при построении систем векторов (14) и (15), удовлетворяющих условиям (16). При этом получим две системы:

из которых и определяем