3. Некоторые другие вариационные методы.

Кроме метода Ритца существует ряд других приближенных методов решения вариационных задач, соответствующих краевым задачам. Не останавливаясь на них подробно, кратко изложим сущность некоторых из них на примере задачи Дирихле для уравнения (44).

Метод Л. В. Канторовича. Для простоты предположим, что область в которой ищется решение уравнения (44) с краевыми условиями (45), ограничена прямыми и двумя кривыми Как мы видели, решение задачи сводится к решению задачи о минимуме функционала

на множестве дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе. В методе Канторовича приближенное решение ищется в виде

Где заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции, обращающиеся в нуль на границе за исключением, быть может, прямых неизвестные функции.

Подставляя в и выполняя интегрирование по переменному у, получим:

где известная функция своих аргументов. Для отыскания имеем вариационную задачу о минимуме однократного интеграла. Выписывая систему уравнений Эйлера

и присоединяя краевые условия

получим краевую задачу для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка, решая которую, найдем а следовательно и .

Можно показать, что в нашем случае система имеет вид

В качестве функций можно брать, например, функции

или

При некоторых ограничениях на гладкость решения можно показать, что последовательность в которой имеют вид (72) или (73), равномерно сходится к решению краевой задачи (см. Л. В. Канторовичи В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, гл. 4, ГИТТЛ, 1952).

Метод Куранта. Если в уравнении (44) правая часть имеет непрерывные производные до некоторого порядка Курант предложил вместо функционала рассматривать функционал

Очевидно а для функции и, реализующей минимум функционала на множестве имеет место равенство так как Таким образом, решение краевой задачи (44) — (45) реализует минимум и функционала (74). Если мы построим минимизирующую последовательность функционала то, очевидно, при

Это позволяет получить дополнительные заключения о характере сходимости к . Например, если решается задача Дирихле для уравнения Пуассона то

Построим минимизирующую последовательность будем иметь:

По формуле Грина

Отсюда по неравенству Буняковского

Первый множитель в правой части ограничен некоторой постоянной С, а это означает при учете (75), что равномерно сходится

Метод Треффтца. В методе Ритца приближенное решение ищется в классе функций, удовлетворяющих краевым условиям, но не удовлетворяющих дифференциальному уравнению. В противоположность этому в методе Треффтца приближенное решение ищется в классе функций, удовлетворяющих уравнению, но не удовлетворяющих краевому условию.

Пусть снова рассматривается краевая задача (44) — (45). Обозначим через решение уравнения (44) и пусть линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, т. е.

Тогда линейная комбинация

будет снова решением уравнения (44): Требуется так подобрать коэффициенты чтобы функция в каком-то смысле наиболее точно удовлетворяла граничным условиям (45). Например, можно подобрать так, чтобы интеграл

принимал бы наименьшее значение. В этом случае для отыскания мы получили бы систему линейных алгебраических уравнений

В методе Треффтца от требуется, чтобы разность и точного решения задачи и обращала в минимум функционал

т. е. подбирают так, чтобы обращалась в минимум функция

Следовательно, должны являться решением системы

Интеграл в (83) можно преобразовать так, чтобы неизвестное нам решение и не входило. В самом деле, используя формулу Остроградского, интеграл в левой части (83) можно преобразовать так:

Так как то систему (83) можно переписать в виде

В эту систему уже не входит. Решая ее, находим а следовательно и .

Отметим, что если — приближенное решение краевой задачи, полученное по методу Треффтца, а — точное решение, то имеет место неравенство

т. е. метод Треффтца дает приближение к снизу.