2. Границы расположения корней алгебраического уравнения.
Для алгебраического уравнения
задача отделения корней решается более просто и точно. Прежде чем отделять корни уравнения, естественно найти границы области, в которой расположены все корни уравнения, поэтому мы сначала приведем ряд способов отыскания этих границ. Пусть
Теорема 1. Все корни уравнения (1) расположены в кольце
Доказательство. Действительно, 
но при 
имеем:
Следовательно, 
как только 
т. е. при 
Таким образом, все корни уравнения находятся внутри круга радиуса 
Далее, уравнение
имеет корнями величины, обратные корням исходного уравнения. По доказанному все корни этого уравнения находятся внутри круга
радиуса 
для любого корня 
исходного уравнения имеет место неравенство
Объединяя результаты, получим неравенство (2).
Предположим, что все коэффициенты уравнений действительные числа и 
Найдем границы действительных корней уравнения. Очевидно, достаточно иметь способы определения границ положительных корней, так как, заменяя х на 
мы получим уравнение, корни которого отличаются от корней исходного уравнения знаком.
Теорема 2. Обозначим через а максимум абсолютных вели 
отрицательных коэффициентов уравнения, и пусть первый отрицательный коэффициент в ряду 
есть 
Тогда все положительные корни уравнения меньше 
(Если отрицательных коэффициентов нет, то нет и положительных корней.)
Доказательство. Заменим положительные коэффициенты 
нулями, а все остальные коэффициенты на 
.
Тогда при 
будем иметь:
Отсюда при 
имеем неравенство 
так как
а это и означает, что все положительные корни меньше 
С помощью теоремы 2 можно найти границы действительных корней очень грубо. Иногда эти границы можно сузить, применив следующий простой прием.
Пусть в уравнении коэффициенты 
неотрицательны, а 
неположительны и 
Введем обозначения:
Тогда
Первое слагаемое в скобках содержит только положительные степени х, а второе только отрицательные. Следовательно, при 
первое слагаемое возрастает, а второе убывает с возрастанием х, т. е. при х > 0 функция 
возрастает вместе с х. Найдя какое-либо 
для которого 
, мы можем гарантировать, что все корни уравнения меньше а.
В общем случае представим 
в виде
где 
есть многочлен, содержащий все первые старшие по степени члены многочлена 
имеющие положительные коэффициенты и все члены с отрицательными коэффициентами, а 
многочлен, образованный всеми остальными членами исходного многочлена 
Тогда, если мы найдем 
для которого 
то 
при всех 
так как 
при 
и все корни уравнения 
будут меньше а.
Хороший способ отыскания верхней границы положительных корней указал Ньютон. Этот способ основан на утверждении: если при 
имеют место неравенства
то уравнение 
не имеет корней, больших а. Действительно,
при всех 
Таким образом, способ Ньютона заключается в отыскании значения 
при котором многочлен 
и все его производные имеют положительное значение. Тогда это значение будет верхней границей положительных корней.
Замечание. Нижняя граница положительных корней может быть найдена из уравнения 
такими же приемами, так как если (3 есть верхняя граница положительных корней этого уравнения, то 
будет нижней границей положительных корней исходного уравнения.
Пример. Найти границы действительных корней уравнения
1-й способ (использование теоремы 2). В данном случае
Следовательно, все положительные корни уравнения меньше
Для отыскания нижней границы положительных корней уравнения рассмотрим уравнение
Так как 
то верхняя граница положительных корней этого уравнения будет:
а следовательно, нижняя граница корней исходного уравнения
Итак, все положительные корни уравнения находятся на отрезке [0,57; 1351].
Для отыскания границ отрицательных корней рассмотрим уравнение
получающееся заменой х на — z. Это уравнение, очевидно, не имеет положительных корней, а следовательно, исходное уравнение не имеет отрицательных корней. 2-й способ. Представим
в виде
где
При 
Поэтому все корни уравнения меньше 40.
Для отыскания нижней границы снова заменим х на у. Получим:
где
Таким образом, положительные корни уравнения 
меньше 1,5, а положительные корни исходного
уравнения больше Следовательно, корни уравнения 
расположены на отрезке [0,66; 40]. Мы получили значительно лучший результат, чем в первом способе.
Способом Ньютона можно показать, что корни уравнения расположены на отрезке [0,74; 22], т. е. удается еще улучшить результат.
