3. Метод моментов.

В методе моментов приближенное решение интегрального уравнения ищется в виде суммы и линейной комбинации заранее выбранных линейно независимых между собой функций

с неопределенными коэффициентами Коэффициенты отыскиваются следующим образом. Рассмотрим оператор

Подставив вместо функцию получим:

Потребуем ортогональность функции ко всем функциям на отрезке т. е. потребуем выполнения условий

Получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания Система будет иметь вид

где

Решая эту систему, мы и найдем а следовательно и приближенное решение интегрального уравнения (2).

В основе этого метода лежит следующая идея. Пусть -первые функций полной ортонормированной системы Для того чтобы функция была точным решением интегрального уравнения (2), необходимо и достаточно ортогональности ко всем функциям системы так как в этом случае будем иметь При отыскании приближенного решения функция содержит лишь параметров с помощью которых, вообще говоря, можно удовлетворить лишь условиям ортогональности, что мы и сделали, потребовав ортогональность Требование ортонормированности системы в проведенных рассуждениях излишне. Достаточно требовать лишь полноту системы и линейную независимость любого конечного числа функций эгой системы, так как процессом ортогонализации можно из нее получить полную ортонормированную систему такую, что любая функция будет линейной комбинацией конечного числа функций системы Этот метод есть не что иное, как метод Галеркина решения интегральных уравнений.

Применение метода моментов равносильно замене ядра вырожденным ядром строящимся следующим образом. Предполагая ортонормированность системы разложим ядро как функцию х в ряд Фурье по этой ортонормированной системе функций и за примем частичную сумму этого ряда. Получим:

где

Если теперь к уравнению

применить метод моментов, то получим точно такое же решение, как и для уравнения (2), ибо система, аналогичная системе (37), может отличаться от нее только коэффициентами Обозначим их через Будем иметь, учитывая ортонормированность системы функций

С другой стороны,

Таким образом,

Следовательно, приближенные решения обоих интегральных уравнений совпадают. Но решение уравнения с вырожденным ядром полученное методом моментов, будет его точным решением. Это и показывает равносильность метода моментов методу замены ядра вырожденным ядром, строящимся специальным способом.

Это замечание позволяет использовать оценку, полученную в теореме п. 2, для оценки точности решения, полученного по методу моментов.

Метод моментов можно применять и для решения нелинейных интегральных уравнений, но в этом случае вместо системы (37) получим нелинейную систему.

Пример. Найти два первых собственных значения и соответствующие им собственные функции однородного интегрального уравнения

где

Для решения задачи применим метод моментов. Приближенное решение будем искать в виде

Для отыскания коэффициентов в соответствии с методом моментов имеем три уравнения:

где

Подстановка дает следующий результат:

Далее,

Приравнивая нулю определитель полученной системы, после несложных вычислений получим:

Корнями этого уравнения будут:

Подставляя в систему найденные значения решая ее относительно получим: для

или, определяя В из условия нормировки для собственной функции, соответствующей значению получим выражение

для

Нормируя, получим собственную функцию, соответствующую второму собственному значению:

Точные величины собственных значений этого уравнения:

а соответствующие им собственные функции:

Погрешность первого собственного значения около 0,06%, а второго собственного значения примерно 1,3%. Что касается собственных функций, то приближенное значение первой собственной функции близко к точному, в то время как приближение ко второй функции значительно хуже.