4. Метод Крылова отыскания начальных значений решения.

Коснемся теперь немного способов вычисления начальных значений основанных на разностных формулах. Приведем один такой способ, предложенный академиком А. Крыловым.

Рис. 25.

Ограничимся случаем Возьмем кусок диаграммы Фрезера и запишем три интерполяционные формулы, пути для которых указаны пунктиром, тире и тире с пунктиром. Эти формулы имеют вид

Интегрируя их в пределах от до 1, получим:

Положив в первом из равенств во втором и в третьем будем иметь:

Выражения в правых и Левых частях зависят от и мы имеем систему уравнений для определения Ход вычислений по этим формулам лучше всего показать на примере. Рассмотрим уравнение и будем отыскивать его решение, удовлетворяющее начальному условию При этом если шаг равен 0,1, то Принимаем приближенно Отсюда находим первое приближение для которое мы будем обозначать через . В нашем случае Теперь мы имеем возможность найти первое приближение для . В нашем случае Вычисляем второе приближение для и находим

Поэтому исправленное значение для будет и для будет Найдем теперь первое приближение для по формуле

Теперь мы можем найти и

Тогда

и

Пересчитывая по формулам (50) значения находим:

Вычисляем заново значения разностей

После нового пересчета находим:

Так как расхождения с предыдущими приближениями еще очень велики, то проделываем вычисления еще раз. Получим:

Новый пересчет даст

В дальнейшем изменений происходить не будет.

Как мы видели ранее, для сходимости процесса последовательных приближений достаточно, чтобы собственные значения некоторой матрицы, составленной из частных производных правых частей, были по модулю меньше 1. В нашем случае решается методом последовательных приближений система

Соответствующее вековое уравнение примет вид

Раскрывая определитель, получим:

При достаточно малом все корни этого уравнения по модулю меньше единицы.