1. Метод сеток для решения задачи Коши.

Проведем два семейства параллельных прямых:

т. е. покроем полуплоскость сеткой прямоугольников со сторонами по осям х и у соответственно. Вершины прямоугольников назовем узлами, сетки. Узлы, расположенные на прямой несущей начальные данные, назовем граничными узлами. Для каждого внутреннего узла составим разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1) в этом узле, заменив входящие в него производные разностными отношениями:

где Получим разностное уравнение

или

где

Из этого уравнения видно, что если сетка настолько мала, что во всех узлах то, зная значения решения в узлах горизонтальных рядов, можно найти решение во всех узлах горизонтального ряда.

Для того чтобы найти приближенное решение задачи Коши, необходимо знать значения решения на двух начальных рядах Их можно найти из начальных условий одним из двух следующих способов.

Первый способ. В начальных условиях (2) заменим производную разностным отношением Тогда для определения значений в узлах первых двух горизонтальных рядов будем иметь:

или

Второй способ. Привлечем еще один горизонтальный ряд и производную заменим разностным отношением Тогда из начальных условий (2) будем иметь:

Значения нам не нужны. Исключим их, используя разностное уравнение для узла считая, что уравнение (1) удовлетворяется и на начальной прямой:

Получим

или

Таким образом, значения решения на первых двух рядах будут определяться следующим образом:

Второй способ в некоторых случаях предпочтительнее, так как в этом случае мы имеем лучшую аппроксимацию начальных условий.

Особенно простые соотношения получаются для дифференциального уравнения

в случае квадратной сетки В этом случае разностное уравнение имеет вид

а для вычисления значений на первых двух рядах будем иметь: при первом способе

при втором способе

Погрешность аппроксимации. В результате замены дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (7) и начальных условий (2) условиями (9) или (10) мы вносим погрешность, которую назовем погрешностью аппроксимации (или погрешностью метода). Предполагая у решения и задачи Коши существование ограниченных производных до четвертого порядка включительно и используя разложение решения по формуле Тейлора в окрестности узла точно так же, как и в случае эллиптических уравнений (см. § 2), получим:

где

а обозначают производные от в некоторой точке, отличной от узла а Если ввести обозначение то

Что касается погрешности аппроксимации начальных условий, то в первом способе аппроксимации начальных условий по формулам (9) первое начальное условие не вносит никакой погрешности, а второе начальное условие вносит следующую погрешность:

( — значение второй производной в некоторой точке). Таким образом,

где

При втором способе аппроксимации начальных условий имеем:

где

Далее,

где имеет вид (15) с Исключая как прежде, получим:

где

или

Для уравнения (1) при эта оценка будет иметь вид

Выбор сетки. Если мы хотим получить методом сеток решение, сколь угодно близкое к точному решению задачи Коши для гиперболического уравнения, то нельзя произвольно выбирать соотношения шагов сетки по осям Для иллюстрации рассмотрим решение задачи Коши для простейшего дифференциального уравнения гиперболического типа

с начальными условиями

методом сеток. Будем использовать прямоугольную сетку с шагом по х и I по у. Пусть В этом случае будем иметь разностное уравнение

или

Зная значения решения в узлах первых двух горизонтальных рядов, можно последовательно вычислить значения решения на втором, третьем и т. д. рядах. При этом значения решения в узле будут определяться начальными данными на отрезке оси х, высекаемом прямыми, выходящими из этого узла и образующими с осью х углы, тангенсы которых равны Треугольник, образованный этими прямыми, назовем треугольником определенности разностной схемы. Если через тот же узел провести две выходящие из него характеристики до пересечения с прямой то лолучим еще один треугольник — треугольник определенности дифференциального уравнения. Известно, что решение задачи Коши для дифференциального уравнения в узле будет полностью определяться начальными данными на основании последнего треугольника. Пусть шаг I по оси у больше т. е.

Рис. 39.

Тогда треугольник определенности разностной схемы целиком содержится внутри треугольника определенности дифференциального уравнения (рис. 39). Покажем, что в этом случае при постоянном при стремящемся к нулю таким образом, чтобы точка была все время узлом сетки, значения решения в узле получаемые методом сеток, могут не сходиться к значению истинного решения задачи Коши в этой точке. Это просто показать следующим образом.

При указанном способе стремления к нулю треугольник определенности разностной схемы все время остается неизменным и приближенное решение в этой точке при любом будет целиком определяться начальными данными на отрезке Если мы будем изменять начальные данные на отрезках то на решения разностных уравнений в точке это изменение совершенно влиять не будет, а значения решения задачи Коши для дифференциального уравнения будет существенно зависеть от этих изменений.

Следовательно, в этом случае мы не можем говорить о сходимости решений, получаемых методом сеток, к решению задачи Коши для дифференциального уравнения. Отсюда вывод, что для сходимости последовательности приближенных решений., получаемых методом сеток при постоянстве отношения при необходимо выполнение условия т. е. треугольник определенности дифференциального уравнения должен совпадать или содержаться внутри треугольника определенности разностной схемы, имеющего ту же вершину.

В общем случае треугольник определенности дифференциального уравнения становится криволинейным, но и в этом случае для сходимости необходимо выполнение условия, чтобы треугольник определенности дифференциального уравнения содержался бы внутри треугольника определенности разностной схемы. Это требование налагает определенные требования на соотношение шагов, т. е. на выбор сетки. При некоторых требованиях гладкости коэффициентов и начальных функций указанное выше условие является и достаточным для сходимости последовательности решений, получаемых методом сеток, к точному решению задачи Коши для дифференциального уравнения (1).

К вопросу выбора сетки мы еще вернемся в дальнейшем уже в связи с исследованием устойчивости разностных схем (см. § 6).