2. Метод Ричардсона.

Рассмотрим еще один метод последовательных приближений первого порядка. Возьмем в формуле (7) предыдущего параграфа При этом получим:

Проведем подробное исследование этого метода для случая, когда матрица А симметрическая и положительно определенная. В этом случае имеется положительных собственных значений матрицы соответствующих им взаимно ортогональных собственных векторов Разложим вектор по этим собственным векторам

и преобразуем (22) к виду

Тогда

Таким образом,

где

Зафиксируем и будем подбирать так, чтобы приняло возможно меньшее значение. При этом мы будем предполагать, что нам каким-то образом удалось найти такие что

Заменим отрезок отрезком введя новое переменное

При этом многочлен

перейдет в новый многочлен Так как то Таким образом, перед нами возникает задача а об отыскании многочлена степени равного I при и обладающего наименьшим максимумом модуля на отрезке среди всех многочленов, обладающих такими свойствами. Эту задачу решает многочлен (см. упражнения к гл. 4)

где многочлен Чебышева, наименее уклоняющийся от нуля. Корни многочлена совпадают с корнями и расположены в точках

Корни же многочлена расположены в точках — Следовательно,

При

Если заранее не ясно, сколько шагов потребуется сделать для получения нужной точности, то целесообразно использовать в

клическом порядке. Задаемся каким-то подбираем соответствующие по формуле (33) и производим вычисления по формуле (22), беря в следующем порядке: При процесс будет стационарным, при процесс будет нестационарным. Он всегда будет сходящимся в силу неравенств (26) и (34). Такой способ был впервые предложен Ричардсоном, и поэтому мы назовем его методом Ричардсона.