§ 10. Приближенные методы решения интегральных уравнений

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые методы приближенного решения интегральных уравнений, ограничиваясь в основном линейными интегральными уравнениями Фредгольма первого рода

интегральными уравнениями Фредгольма второго рода

и интегральными уравнениями Вольтерра первого и второго рода, имеющими соответственно вид

где заданные функции, искомая функция.

1. Решение уравнений Фредгольма методом замены интеграла конечной суммой.

При решении интегральных уравнений Фредгольма приходится встречаться с решением двух задач: 1) отыскание решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра X и заданной правой части отыскание собственных значений и собственных функций ядра т. е. отыскание таких значений параметра X, при которых однородное уравнение

имеет нетривиальное решение Эти значения X и соответствующие им нетривиальные решения и называются, соответственно, собственными значениями и собственными функциями ядра

Будем сначала предполагать, что ядро и правая часть непрерывны и, даже больше, имеют непрерывные производные до некоторого порядка. Тогда и решение уравнения имеет производные до того же порядка.

Для решения интегральных уравнений можно применять метод замены интеграла, входящего в уравнение, конечной суммой, используя для этого те или иные квадратурные формулы.

Пусть за основу принята некоторая квадратурная формула

где абсциссы принадлежащие отрезку и коэффициенты не зависят от выбора функции остаточный член квадратурной формулы. Положим в интегральном уравнении Тогда

Заменим в (6) интеграл с помощью квадратурной формулы (5). Будем иметь:

Отбрасывая в системе получим для отыскания приближенных значений решения в узлах линейную систему алгебраических уравнений

где введены обозначения Решив эту систему, мы найдем значения по которым процессом интерполяции можно получить и приближенное решение интегрального уравнения (2) на всем отрезке За аналитическое выражение приближенного решения уравнения (2) можно принять функцию

принимающую в узлах значения

В случае уравнений Фредгольма первого рода (1) вместо системы (8) будем иметь систему

Если в качестве квадратурной формулы берется обобщенная формула прямоугольников, то

если берется обобщенная формула трапеций, то

если же берется обобщенная формула Симпсона, то

Этот метод может быть применен и для решения нелннейных интегральных уравнений вида

но в этом случае вместо системы (8) получим систему

которая уже будет нелинейной.

Вернемся к интегральному уравнению (2). Если это уравнение однородно, то и система (8) будет однородной системой. Она будет иметь нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель системы (8) равен нулю. Приравнивая нулю этот определитель, получим алгебраическое уравнение, вообще говоря, степени относительно Решая это уравнение, найдем, вообще говоря, корней которые будут приближенными значениями первых собственных значений ядра Подставляя

в однородную систему, соответствующую системе (8), одно из найденных значений и находя линейно независимые решения этой системы, получим приближения к линейно независимым собственным функциям ядра соответствующим данному собственному значению.

Если X не равно ни одному из этих корней, то однородная система имеет только тривиальное решение, а система -единственное решение.

При выборе квадратурной формулы в этом методе нужно иметь в виду, что чем более точную формулу мы применяем, тем большую гладкость ядра и решения, а следовательно и нужно требовать. Попытка применения более точных квадратурных формул для получения более точного приближения при несоблюдении этого условия может привести совсем к обратному результату.

В случае, если правая часть или ядро (или их производные) имеет особенности, целесообразно предварительно выполнить некоторые преобразования с тем, чтобы получить более хорошее интегральное уравнение, с помощью которого можно будет получить более точное приближенное решение исходного уравнения. Для этого могут быть полезны следующие приемы.

Если ядро гладкое, а правая часть имеет особенности, то можно вместо ввести новую неизвестную функцию;

Подстановка ее в уравнение дает

т. е. мы получим уравнение в точности того же вида, но в котором правая часть будет уже более гладкой, а следовательно, и решение будет более гладким. Найдя затем найдем и искомое решение

Очень часто встречаются уравнения, в которых ядро или его производная по имеет разрывы на диагонали В этом случае уравнение предварительно выгодно переписать в виде

Подынтегральная функция во втором интеграле будет правильной, так как на диагонали разность обращается в нуль, уже не будет содержать неизвестной функции и его

часто можно вычислить в явном виде. Применение метода к этому последнему интегральному уравнению даст лучший результат. Часто встречаются интегральные уравнения с ядрами вида

где гладкая функция. От уравнений с такими ядрами целесообразно перейти к уравнениям с итерированными ядрами, которые уже не будут иметь особенности при (Об итерации ядер см., например, И. Г. Петровский, Лекции по теории интегральных уравнений.)

Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности решения, получаемого по этому методу, предполагая в уравнении (2) наличие у ядра и правой части непрерывных производных до порядка Тогда и решение будет иметь непрерывные производные до порядка

Если обозначить определитель системы (8) через а алгебраические дополнения его элементов через то решение системы (8) можно будет записать в виде

Из системы (7) будем иметь:

Обозначим через погрешность приближенного решения в точке х т. е.

а через обозначим разность где определяется формулой (9). Тогда из (12) и (12) имеем:

Если ввести обозначения

то

Для получим следующее равенство:

Отсюда получается следующая оценка:

или

В оценках (13) и (13) все константы могут быть вычислены, кроме константы Константа есть максимум абсолютной величины остаточного члена квадратурной формулы для при всех Для формул трапеций, Симпсона, Гаусса и многих других остаточный член имеет вид

где некоторая постоянная, зависящая от некоторая точка отрезка Таким образом,

В нашем случае параметр). Таким образом,

а

где введены обозначения:

Постоянные нам неизвестны, так как неизвестно решение. Но их можно оценить. Для этого продифференцируем интегральное уравнение раз. Будем иметь:

откуда

или

Таким образом,

где

— постоянные величины, которые можно найти, так как ядро и известны. Обозначим через максимум абсолютной величины приближенного решения Из оценки (13) будем иметь:

или

Если

то

Следовательно, погрешности можно оценить через известные величины.

Напомним, что: для обобщенной формулы трапеции с ординатами для обобщенной формулы Симпсона с ординатами для формулы Гаусса с ординатами

Пример. Найти приближенное решение уравнения

Воспользуемся квадратурной формулой Симпсона:

Тогда для отыскания приближенного решения в точках получим систему

или

Решая ее, получим:

Точное решение интегрального уравнения Как видим, результат достаточно хороший,