2. Отыскание собственных векторов.
В заключение остановимся на отыскании собственных векторов, Предположим, что, применяя метод Ланцоша, мы получили
Пусть Х - какой-нибудь корень минимального многочлена вектора
Тогда будем разыскивать собственный вектор, соответствующий этому собственному значению в виде
Условие
дает
В силу линейной независимости векторов
из (61) следует:
То
Коэффициент
должен быть отлучен от нуля, так как в противном случае и все остальные коэффициенты были бы равны нулю. Положим, например,
Тогда остальные коэффициенты
последовательно находятся из равенств:
Как и для метода Крылова, первое из равенств (62) будет следствием остальных и условия, что
является корнем минимального многочлена вектора
Найдем собственные векторы матрицы (44) § 2. Если за вектор
принять (30), то вычисления при
дают
и
При
соответственно получим:
и
Можно ввести в рассмотрение многочлены:
Тогда собственный вектор
соответствующий собственному значению
можно записать в виде
Многочлен
в (68) совпадает с многочленом