4. Вычисление определителей.

Схемы Гаусса можно применить для вычисления определителей. При этом никаких новых трудностей не возникает, поэтому только кратко опишем для примера применение для этой цели схемы Гаусса с выбором главного элемента.

Анализируя схему Гаусса с выбором главного элемента для решения системы уравнений, легко убедиться, что при выполнении прямого хода мы совершаем такие преобразования матрицы коэффициентов исходной системы, при которых величина ее определителя не изменяется. После завершения прямого хода получается

система с такой матрицей, которую путем перестановки строк и столбцов можно преобразовать в треугольную матрицу, причем на главной диагонали будут стоять наши главные элементы. Следовательно, определитель матрицы исходной системы только знаком может отличаться от произведения главных элементов. С каким знаком нужно брать это произведение, легко сообразить, не выполняя преобразование матрицы к треугольному виду.

Эти рассуждения показывают, что для вычисления определителя по схеме Гаусса с выбором главного элемента нужно в точности повторить прямой ход для решения системы по этой схеме (не выполняя действий со столбцом свободных членов), а затем взять с соответствующим знаком произведение главных элементов.