4. Отделение действительных корней алгебраического уравнения.

Задача отделения действительных корней уравнения заключается в том, чтобы каждый из корней заключить в интервал, не содержащий других корней уравнения. Обычно для решения этой задачи сначала находят нижнюю и верхнюю границы всех действительных корней уравнения, что может быть сделано одним из тех способов, о которых мы говорили ранее. Затем полученный отрезок разбивают на более мелкие, обычно равной длины, так, чтобы в каждом из них не могло содержаться больше одного корня. Для того чтобы определить длину этих частичных отрезков

рассмотрим определитель

где корни данного уравнения. Введем обозначение

и возведем в квадрат, используя правило умножения определителей «арока на строку». Получим:

Зная величину можно оценить расстояние между корнями. Действительно,

где штрих означает, что мы в правой части опускаем множитель Если верхняя граница модулей корней уравнения, то

Для отыскания найдем Пусть уравнение имеет вид

Тогда

С другой стороны,

Производя деление, получим;

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

Для отыскания соответствующих выражений при умножим наше уравнение на и в уравнении

положим последовательно Складывая полученные результаты, найдем:

Эти формулы нам дают возможность последовательно найти а тем самым и Например, для кубичного уравнения будем иметь:

Обычно этот способ дает очень заниженные значения для и нужна очень большая вычислительная работа для последующих подстановок.

Рассмотрим метод Фурье отделения корней, основанный на теореме Бюдана. Но прежде чем излагать сам способ, докажем несколько вспомогательных утверждений.

1. Если уравнение имеет на отрезке корней, а при переходе от в последовательности теряется перемен знака, то уравнение имеет еще по крайней мере 21 комплексных корней.

Действительно, пусть между и а имеется действительных корней, а между и действительных корней. По теореме Бюдана при переходе от к а в последовательности теряется перемен знака, а при переходе от теряется перемен знака, где и некоторые целые числа. Число перемен знака, теряющихся при переходе от равно Таким образом, а число комплексных корней Следовательно,

2. Если функция на отрезке имеет две непрерывные производные и на этом отрезке не обращается в нуль, то функция является возрастающей в тех точках, где имеют одинаковый знак, и убывающей в тех точках, где они имеют разные знаки. Действительно,

а это означает, что при функция возрастает, а при убывает.

Из второго утверждения можно получить два следствия. Следствие 1. Если на отрезке уравнение имеет два действительных корня, не обращается в нуль на этом отрезке, то имеет место неравенство

Действительно, пусть - корни уравнения на отрезке имеет на отрезке только один корень. Он расположен между Кривая на отрезке или выпукла или вогнута в зависимости от знака поэтому на отрезках имеют одинаковые знаки (рис. 4 и 5). Следовательно, функция на этих отрезках возрастает и

Рис. 4.

Рис. 5.

Но поэтому тем более, откуда и следует, что

Следствие 2. Если на отрезке уравнение имеет один корень а функции не обращаются в нуль и на и имеет место неравенство его можно нарушить, увеличив а или уменьшив на соответствующую величину.

В самом деле, функция возрастает при изменении х от а до и при изменении х от до а функция будет

убывать на от до а функция будет возрастать от до на Если а и и близки к то таким образом,

Теперь можно изложить способ Фурье отделения действительных корней алгебраического уравнения степени

Пусть нам дано уравнение степени Образуем последовательность На отрезке на котором могут быть действительные корни, возьмем ряд возрастающих чисел Если при переходе от наша последовательность не теряет ни одной перемены знака, то уравнение не будет иметь ни одного корня на отрезке Если теряется только одна перемена знака, то имеется только один корень и он уже отделен. При потере двух перемен знака могут быть два случая: 1) на имеется два корня уравнения и 2) на нет корней. В последнем случае уравнение имеет обязательно пару комплексных корней. Если потеря перемен знака происходит в первых трех функциях последовательности, то эти два случая можно различить. В самом деле, не имеет корня в Поэтому, если окажется, что

то по следствию второго утверждения не может иметь двух корней в т. е. на отрезке нет ни одного корня. Если неравенство не выполняется, то нужно на отрезке выбрать точку и проводить рассуждения с отрезками

В общем случае, когда число потерянных перемен знака при переходе от а; к больше двух или равно двум, но потери происходят не за счет первых трех функций, вопрос может бьпь решен следующим образом. Обозначим через число перемен знака потерянных при переходе от в последовательности

Общий случай соответствует В последовательности найдем первое число, равное 1. Пусть это будет Тогда может иметь значение или 2; первый случай невозможен, так как по условию и поэтому можно было бы найти Если при этом то всегда можно так уменьшить отрезок взяв что корень принадлежит отрезку не имеет там корней. Тогда не имеет корней на следовательно,

для них равно нулю. Поэтому первое из равное 1, перемещается для этих отрезков влево. Для отрезка будем иметь При этом может оказаться, что не будет первым из равным единице. Тогда мы так же переместимся влево и будем повторять наши рассуждения. Таким образом, нам нужно только рассмотреть случай, когда и — первое из равное 1.

В этом случае уравнение либо имеет два корня на не имеет ни одного. Эти случаи можно различить так, как мы это делали при Если имеется два корня, то мы отделяем их изложенным выше способом, при этом отрезок разобьется на два отрезка для которых т. е. первое из равное 1, переместится влево. Если окажется, что корни комплексные, то можно показать, что все уравнения

имеют пару комплексных корней. Тогда мы уменьшим все при на 2 и получим Таким образом, мы последовательно подвигаемся влево до тех пор, пока не придем к уже рассмотренным случаям.

Может случиться, что уравнение имеет два равных корня в Тогда будет справедлив тот же вывод, если только само уравнение не имеет кратных корней. Если же двойной корень принадлежит уравнениям

то исходное уравнение в данной точке имеет корень кратности Пример. Отделить корни уравнения

Последовательность будет выглядеть так.:

По признаку Ньютона находим, что все корни уравнения заключены между Составим таблицу знаков последовательности в точках

На отрезке имеем а следовательно, на этом отрезке имеется один действительный корень. На отрезке нужно разобраться со знаком Поэтому при значениях х, больших 1, но близких к ней, все производные будут положительны. Таким образом, последовательность будет иметь вид

Первое из равное 1, будет Исследуем, может ли уравнение иметь действительные корни на [0, 1]:

Следовательно, мы должны уменьшить на 2. Получим 2,2, 1, 0. Опять нужно исследовать, имеет ли действительные корни на [0, 1]:

а это означает, что действительных корней нет. Уменьшая еще раз все на 2, получим Следовательно, других действительных корней наше уравнение не имеет, т. е. имеет один действительный корень на отрезке и четыре комплексных корня.