§ 3. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений

Одним из широко распространенных методов решения алгебраических уравнений является метод Н. И. Лобачевского, предложенный им в 1834 г. Впоследствии он был несколько усовершенствован Греффе, Дандленом, и поэтому в литературе часто его связывают с их именами. Иногда его также называют методом квадратного корня.

1. Метод Лобачевского. Случай различных по абсолютной величине действительных корней.

Пусть дано уравнение

о корнях которого известно, что все они действительны и удовлетворяют условию

Смысл знака (значительно больше) мы уточним несколько позднее. Воспользуемся связью между корнями и коэффициентами нашего уравнения

Вынесем в первом из этих равенств за скобки Получим:

Будем считать, что настолько больше остальных корней по абсолютной величине, что можно отбросить в скобке все отношения и в пределах нашей точности равенство не нарушится. Тогда

Аналогично, вынося из второго равенства за скобки хххг, получим:

Предполагая, что отношениями стоящими в скобке, можно

пренебречь по сравнению с единицей, будем иметь: или

Продолжая эти рассуждения дальше, найдем:

Таким образом, в нашем случае мы сумеем найти приближенные значения всех корней уравнения.

Н. И. Лобачевский предложил способ получения из данного уравнения (1) нового уравнения, корни которого равны квадратам корней исходного уравнения. Если исходное уравнение имело только различные по абсолютной величине действительные корни, то, применяя достаточное число раз процесс, предложенный Лобачевским, — квадрирование, получим новое уравнение, корни которого удовлетворяют условию (2). Таким образом, мы сможем найти корни последнего уравнения, а затем и корни исходного уравнения. Изложим процесс квадрирования. Запишем уравнение (1) в виде

Уравнение, корни которого противоположны по знаку корням уравнения (1), будет иметь вид

Перемножая эти два уравнения, получим:

Если теперь положить то получим новое уравнение относительно z, корни которого равны соответственно

Отсюда, для того чтобы получить нужное нам уравнение, мы должны перемножить уравнение (1) и уравнение, получающееся из него заменой х на и положить затем Найдем выражения для коэффициентов нового уравнения через старые коэффициенты. Нам нужно перемножить

и

Произведение будет иметь вид

После замены на z получим:

Коэффициент при в этом уравнении получается из коэффициентов исходного уравнения следующим образом: из квадрата вычитается удвоенное произведение двух соседних с ним симметрично расположенных коэффициентов, прибавляется удвоенное произведение двух следующих за ними симметрично расположенных коэффициентов и т. д., до тех пор пока не придем к или т. е.

Возникает вопрос: как узнать, что процесс квадрирования проведен достаточное число раз? Для того чтобы ответить на него, мы рассмотрим два уравнения:

получающиеся в процессе квадрирования, причем второе получается квадрированием первого. Если бы для первого уравнения условие (2) было выполнено, то тем более оно будет выполнено для второго. Таким образом,

Но так как то мы получим:

и, следовательно, в силу того, что будем иметь:

т. е. все коэффициенты являются примерно квадратами Можно показать, что при этом разделение корней уже имеет место, если исходное уравнение удовлетворяет нашим требованиям.

(см. скан)

Рассмотрим в качестве примера решение методом Лобачевского уравнения (промежуточные вычисления приведены в схеме на стр. 106)