5. Отделение комплексных корней алгебраических уравнений.

Мы изложим способ отделения комплексных корней алгебраического уравнения

использующий понятие индекса многочлена относительно некоторой заданной прямой в плоскости комплексного переменного z. Пусть на прямой

уравнение (12) не имеет корней. Значения многочлена вдоль эгой прямой являются функцией которую можно записать в таком виде:

где действительные функции от По условию не обращается в нуль. и непрерывные функции от при изменении t от до Индекс многочлена относительно прямой (13) определим так:

Имеет место следующее свойство индекса

Если где многочлены относительно z, то

В самом деле, если

то

Отсюда

Рассмотрим связь индекса с расположением корней уравнения (12) относительно прямой Пусть сначала где В этом случае

Если то при изменении от до изменяется от до а от мы всегда будем принимать значение угла в пределах для которого тангенс равен Следовательно,

Если а то при изменении от до изменяется от до , т. е. изменяется от и

Таким образом,

Это означает, что для многочлена индекс относительно прямой будет равен 1, если корень многочлена лежит слева от прямой и —1, если корень лежит справа от этой прямой.

Пусть теперь произвольный многочлен

На основании свойства (16)

Но равен если лежит слева от прямой , если лежит справа от этой прямой. Таким образом,

где -число корней уравнения лежащих слева от прямой число корней уравнения, лежащих справа от этой прямой. Так как общее число корней уравнения равно то

Рассмотрим теперь прямую

предполагая, что на ней нет корней уравнения (12). Пусть

Определим индекс многочлена относительно этой прямой равенством

Снова изучим связь индекса с расположением корней относительно прямой положив вначале, что

Если то при возрастании от до х возрастает от до возрастает от до при возрастании от до возрастает от до 0, а от до . Таким образом,

Если то при изменении от до убывает от до , а убывает от при изменении от до убывает от до 0, т. е. убывает до Следовательно,

Итак,

т. е. если корень лежит выше прямой то индекс равен если же ниже прямой, то —1. В общем случае многочлена

используя свойство (16), будем иметь:

где число корней уравнения лежащих выше прямой число корней, лежащих ниже прямой. Так как

то

Теперь уже совершенно ясно, как можно выполнить отделение действительных и комплексных корней уравнения (12).

Для определения числа корней уравнения расположенных в полосе вычисляем Тогда число корней в этой полосе будет равно

Для определения числа корней в полосе вычисляем тогда число корней в этой полосе будет

Зная границы области, в которой расположены все корни уравнения (12), и применяя этот метод, можно произвести отделение всех действительных и комплексных корней.

Для вычисления индекса многочлена относительно прямой необходимо найти приращение при возрастании от до так как

где

Функции и являются многочленами относительно причем если степень многочлена четна, то имеет степень не выше если же степень нечетна, то есть многочлен степени не выше в точности степени . Так как предполагается, что на прямой нет корней уравнения то и не могут одновременно обращаться в нуль. Функция при изменении от до непрерывна, терпит бесконечные разрывы в точках являющихся действительными корнями многочлена Разрывы могут иметь один из следующих видов:

Функция имеет разрыв в точках причем все эти разрывы вида 3).

Для того чтобы найти приращение при переходе по от — со нужно найти все действительные корни многочлена и рассмотреть последовательность интервалов: На каждом из интервалов есть непрерывная функция, а значения находятся в интервале или где некоторое целое число. При переходе через в зависимости от типа разрыва при значения остаются или в этом же интервале (в случае разрыва вида 1) или или выходят из этого интервала, причем в случае разрыва вида уходит из этого интервала возрастая, а в случае разрыва вида 4) — убывая. Приписывая при значение угла в пределах для которого тангенс равен и следя за изменением при переходе через точки мы и найдем приращение при возрастании от до . В случае четной степени где целое число, равное разности числа разрывов вида 3) и числа разрывов вида 4), т. е. в этом случае индекс равен числу разрывов вида 3) без числа разрывов вида 4). В случае нечетной степени Если , где I равно разности числа разрывов вида 3) и числа разрывов вида 4) при и равно разности числа разрывов вида 3) и числа разрывов вида 4) плюс единица при Если то число разрывов вида 3) без числа разрывов вида 4) при равно разности числа разрывов вида 3) без числа разрывов вида 4) минус единица при Это означает, что если рассматривать единую бесконечно удаленную точку и положить и в этой точке рассматривать типы разрыва так же, как и в (48), то можно и при четных и при нечетных сформулировать одно и то же правило для вычисления индекса Индекс многочлена относительно прямой на которой нет корней уравнения равен разности числа

разрывов отношения вида 3) и числа разрывов вида 4), где — соответственно действительная и мнимая части функции

Это правило, очевидно, справедливо и для вычисления индекса если на прямой нет корней уравнения

Заметим, что для вычисления индекса нет необходимости находить корни уравнения а нужно лишь для каждого из них найти такой интервал, в котором нет других корней а также корней многочлена

В заключение рассмотрим два примера. Пример 1. Отделить корни уравнения

Для определения числа действительных корней и их отделения выписываем ряд Штурма

Таблица перемен знака в последовательности Штурма имеет вид:

(см. скан)

Таким образом, действительный корень один и находится в интервале

Для отделения комплексных корней будем вычислять индексы многочлена относительно прямых .

1) Многочлен имеет корни имеет в этих точках разрывы вида: в . Далее,

Отсюда

Следовательно, оба комплексных корня лежат слева от прямой т. е. имеют отрицательную действительную часть.

Корни уравнения

Типы разрывов

Отсюда Таким образом, комплексные корни лежат вправо от прямой т. е. в полосе

Корни знаменателя находятся в интервалах

Типы разрывов: Следовательно, выше прямой корней нет, а это означает, что мнимые части корней по модулю меньше 1.

Итак, уравнение имеет три корня:

где

Пример 2. Отделить корни уравнения

Метод Штурма отделения действительных корней дает такой результат: уравнение имеет два действительных корня, которые расположены в интервалах и Для определения расположения пары комплексных корей применим изложенный метод. 1. Рассмотрим прямую т. е.

Уравнение имеет два двукратных корня: Типы разрывов Следовательно, комплексные корни лежат влево от прямой имеют отрицательную действительную часть.

2. Рассмотрим прямую :

Уравнение имеет корни Типы разрывов:

Отсюда

т. е. левее прямой корней нет, и комплексно-сопряженные корни находятся в полосе

3. Рассмотрим прямую

Корни уравнения Типы разрывов:

Отсюда

Следовательно, выше прямой имеется один корень уравнения.

4. Рассмотрим прямую

Корни уравнения находятся в интервалах Типы разрывов:

Таким образом, выше прямой корней нет, а поэтому комплексные корни расположены по одному в прямоугольниках: