3. Оценки погрешности решений, получаемых по формулам Адамса.

Чтобы проиллюстрировать предыдущие рассуждения и показать, как их можно применять в практических случаях, рассмотрим подробнее экстраполяционную и интерполяционную формулы Адамса. При этом мы будем считать, что

Экстраполяционная формула Адамса может быть записана в виде

где

и

При

Последнее выражение можно записать в виде

Здесь через обозначено следующее выражение:

Величину нетрудно оценить. Для этого заменим подынтегральное выражение в интерполяционным многочленом Ньютона для

интерполирования назад с остаточным членом

Проинтегрировав интерполяционный многочлен, мы получим первую сумму в левой части (41). Таким образом,

Используя теорему о среднем, получим:

и, обозначая через максимум модуля в рассматриваемой области, найдем:

Переходя к абсолютным величинам и обозначая через L постоянную Липшица для функции будем иметь:

Это неравенство можно получить прямо из формулы (35) при используя оценки для

Покажем теперь, как можно перейти от этой рекуррентной, оценки к оценке через данные в начале счета величины. Рассмотрим разностное уравнение

Если в качестве начальных значений для выбрать положительные величины, большие чем модули соответствующих то при любом будем иметь

Характеристическое уравнение для (47) будет иметь вид

Если обозначить его корни через и частное решение уравнения (47) через то общее решение (47) может быть записано в виде

Так как

где

то уравнение (48) имеет корень заключенный в пределах

Поэтому, полагая в (49), мы получим такое решение уравнения (47), которой при достаточно большом положительном будет удовлетворять неравенству при всех а следовательно и при всех Выбором займемся после определения константы представляющей собой частное решение уравнения (47). Подставляя в вместо получим:

откуда

Поэтому

Подберем теперь постоянную Пусть начальные значений нам известны и все они не превышают по абсолютной величине Тогда, для того чтобы все были не меньше достаточно взять

Таким образом, мы находим:

Если воспользоваться правой частью неравенства (51), то (57) можно заменить более грубым неравенством:

Воспользуемся теперь неравенством

и заменим А на Тогда к

Если подставить сюда выражение для I и положить то увидим, что при правая часть стремится к нулю при фиксированном положении Таким образом, приближенное решение, полученное по методу Адамса, сходится к точному решению, если начальные значения задавать точно и все вычисления производить точно.

Для интерполяционного метода Адамса рассуждения будут аналогичны. Формулу записываем в виде

где

и

Как и ранее, находим:

Мажорирующее уравнение примет вид

Его частное решение равно

Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид

Оно имеет единственный корень, заключенный между если только Обозначим его через Тогда получаем следующую оценку:

где через как и раньше, обозначено наибольшее из значений

При этом мы считали, что уравнение относительно на каждом шаге может быть решено точно.

Для сравнения двух формул Адамса в смысле точности приведем уравнения для определения и коэффициенты при в том и другом случае.

Экстраполяционная формула Адамса

(см. скан)

Интерполяционная формула Адамса

(см. скан)

Как мы видим из этой таблицы, оценки для интерполяционной формулы Адамса получились лучшими, чем для экстраполяционной. Это подтверждает, до некоторой степени, факт, обнаруженный нами практических вычислениях.

Совершенно аналогично можно получить оценки и для других формул, которые нами введены.