1. Конечномерные линейные нормированные пространства.

В настоящей главе мы будем рассматривать только конечномерные линейные нормированные пространства. При этом каждый элемент линейного пространства будет полностью определяться конечной

совокупностью чисел — компонент его по отношению к некоторому базису. Пусть размерность пространства равна Норма элемента будет функцией его компонент

При различных определениях нормы функции будут различны, но все они будут обладать рядом общих свойств. Так как то

Функция непрерывна. Действительно, если два элемента с компонентами то

Обозначим

Тогда

или

Отсюда и следует непрерывность

Непрерывная функция достигает на ограниченном замкнутом множестве

своего наибольшего значения и своего наименьшего значения Так как при положительных с

то

и

Отсюда, в частности, следует, что множество элементов, удовлетворяющих условию является замкнутым ограниченным множеством пространства Это множество не содержит нулевого элемента.

Пусть в нашем пространстве введены две нормы Рассмотрим множество элементов для которых В силу только что сделанного замечания на этом множестве достигает своего наибольшего значения и своего наименьшего значения Пусть теперь произвольный элемент Тогда

и так как то

Отсюда получаем, что для произвольного ненулевого элемента выполнены неравенства

Они выполнены и для нулевого элемента.

Две нормы для которых выполнено

где х — произвольный элемент называются эквивалентными. Неравенства (33) говорят о том, что имеет место теорема. В конечномерном линейном нормированном пространстве любые две нормы эквивалентны.

На практике чаще всего используют следующие нормы:

Необходимо проверить выполнимость условий, налагаемых на норму. Условия если очевидно, выполнены во всех трех случаях. Так же очевидно, что выполнено условие Проверим выполнение условия

В первом случае будем иметь:

Во втором случае получим:

Наконец, из неравенства Буняковского следует:

Заметим еще следующий факт. Если в смысле какой-то из этих трех норм, то Так как у нас все нормы эквивалентны, то последнее заключение будет справедливо, если по произвольной норме.