Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравненийДля решения алгебраических и трансцендентных уравнений вида
В этой области выбирается точка
строится последовательность точек Чаще всего по функции
и затем строят последовательность
исходя из некоторого начального приближения Ниже мы исследуем ряд стационарных и нестационарных методов. 1. Принцип сжатых отображений и его применение к доказательству сходимости итерационных методов.Для исследования сходимости итерационных методов, а также для доказательства существования корня уравнения широко применяется принцип сжатых отображений, который мы сформулируем и докажем в общем виде и в форме, удобной для наших целей. Пусть
т. е. оператор А сближает элементы. Теорема (Принцип сжатых отображений). Если
имеет, одно и только одно решение. Решение этого уравнения может быть получено как предел последовательности
где Доказательство. Пусть
Следовательно,
Но
Таким образом,
что и доказывает фундаментальность последовательности Из полноты пространства
Далее, так как
Следовательно,
Для доказательства единственности допустим, что существуют два неподвижных элемента х и у, т. е.
Но оператор
что невозможно, так как Приведем еще одну теорему, которая уточняет доказанный выше принцип сжатых отображений. Теорема. Пусть в полном метрическом пространстве
и
где Эта теорема непосредственно следует из принципа сжатых отображений, так как если то
т. е.
Но Рассмотрим применение этого принципа к исследованию сходимости итерационного метода решения уравнения
при некоторых ограничениях на функцию Предположим, что уравнение (3) имеет корень
для любых точек Теорема. Каково бы ни было
сходится к а, если только
Доказательство. Совокупность точек круга
Отображение, определяемое функцией
Поэтому по принципу сжатых отображений в
при любом Используя условие Липшица (8), имеем:
т. е.
Таким образом, В доказанной теореме мы предполагали существование корня уравнения (3). Принцип сжатых отображений может быть использован и для доказательства существования корня. Теорема. Если функция
то в
где Доказательство. Пусть
т. е. функция
Следовательно, имеет место принцип сжатых отображений, из которого прямо следует теорема. Мы требовали от функции
Если производная Введем понятие порядка итерации (4) для решения уравнения (3). Будем говорить, что итерация (4) имеет порядок
Если
В случае итерации порядка
откуда
Обозначая через
из которого следует:
Таким образом, если
что дает очень быструю сходимость Для случая, когда
Рис. 6.
Рис. 7. На рис. 6 и 7 изображена геометрическая картина метода итераций (4) для случаев, когда Геометрически видно, что если в окрестности корня
|
1 |
Оглавление
|