2. Оценка погрешности и сходимость метода сеток для неоднородного волнового уравнения.

Оставляя в стороне общий случай, рассмотрим оценку погрешности решения задачи Коши для неоднородного волнового дифференциального уравнения, получаемого методом сеток:

с начальными условиями

для случая квадратной сетки Разностное уравнение в этом случае имеет вид (11). Мы его перепишем в более удобной форме:

Рис. 40.

В левой и правой частях уравнения входят разности значений и в узлах, соединенных на рис. 40 пунктирной линией. Значения решения на первых двух горизонтальных рядах определим

с помощью равенств (13):

Используя будем иметь следующие равенства:

Суммируя их почленно, получим:

где

Сумма содержит лишь значения решения и в узлах первого горизонтального ряда, отмеченных на рис. 41 жирными точками, значения решения и в узлах нулевого горизонтального ряда, тоже отмеченных жирными точками. Сумма содержит значения правой части в узлах сетки, отмеченных крестиками. Обозначим через значения точного решения задачи Коши в узлах сетки, т. е. а под будем понимать значения решения, полученные методом сеток. Через гц обозначим разность т. е. погрешность приближенного решения. Докажем, что по абсолютной величине не превосходит некоторой постоянной

Рис. 41.

умноженной на Будем предполагать, что задача Коши имеет решение с непрерывными и ограниченными производными до четвертого порядка включительно. Мы видели, что для точного решения имеют место равенства

где как

где

Вычитая из (11) и (13) почленно соответствующие равенства (14) и (10), получим для погрешности систему уравнений

Воспользовавшись явным представлением решения разностной системы (20), будем иметь:

Все слагаемые второй суммы нули; первая сумма содержит j слагаемых, каждое из которых не превосходит третья сумма состоит из слагаемых, каждое из которых по абсолютной величине не превосходит единицу. Таким образом,

Если узел имеет координаты то Отсюда

При фиксированных и погрешность в этой точке стремится к нулю как Это означает, что последовательность решений задачи Коши, получаемая методом сеток, сходится к точному решению задачи.