3. Уравнения характеристик квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим теперь квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка

где заданные функции непрерывные и непрерывно дифференцируемые в некоторой области изменения своих аргументов.

Предположим, что в плоскости х, у задана некоторая гладкая кривая Пусть вдоль кривой С задана функция и являющаяся дважды непрерывно дифференцируемым в области содержащей кривую С, решением уравнения (23), а также заданы и ее производные первого порядка вдоль снова поставим вопрос: можно ли на С найти частные производные второго порядка используя уравнение

Для отыскания вдоль кривой С имеем три соотношения:

где все дифференциалы берутся вдоль кривой С.

Рассмотрим (24) как систему трех линейных алгебраических уравнений для неизвестных с определителем

Нас будут интересовать два случая:

1) определитель отличен от нуля на кривой

2) определитель тождественно равен нулю на кривой С.

В первом случае вторые производные функции и определяются вдоль кривой С единственным образом.

Во втором случае, так как мы исходим из существующего решения и(х,у), система (24) будет совместна, и мы получим бесконечное множество значений в каждой точке кривой С. В этом случае кривую С называют характеристикой уравнения (23), соответствующей заданному решению и а кривую С вместе с заданными на ней значениями характеристической кривой.

Если кривая С является характеристикой при заданном решении , то вдоль нее имеет место соотношение

или

Разрешая это уравнение относительно получим:

Если то получим два обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка, которые определят два однопараметрических семейства интегральных кривых, покрывающих область где определено решение и Эти два семейства называют первым и вторым семействами характеристик, соответствующими данному решению уравнения (23). Через каждую точку области проходит одна и только одна характеристика каждого семейства. Если в некоторой области изменения уравнение (26) имеет два действительных различных корня для то говорят.

что в этой области уравнение принадлежит к гиперболическому типу. Только такие уравнения мы и будем рассматривать.

Если уравнение (23) линейно, т. е. и с не зависят от то характеристики не зависят от выбора решения и оба семейства характеристик можно найти, интегрируя уравнения (27).

Если кривая С для данного решения является характеристикой, то из совместности системы (24) следует, что все определители третьего порядка матрицы

на кривой С должны обращаться в нуль, т. е.

Используя условие, что С есть характеристика и исключая из соотношений с помощью соотношения (27), во всех трех случаях получим:

Знаки в (29) соответствуют знакам в (27). Таким образом, имеют место соотношения:

называемые уравнениями характеристик. Первое из них называют уравнением направления характеристик, а последние два — дифференциальными соотношениями вдоль характеристик. Если ввести обозначения

то уравнения характеристик можно переписать следующим образом: для первого семейства

для второго семейства

Относительно характеристических кривых уравнения (23) можно сделать такое же замечание, как и о характеристических кривых системы уравнений первого порядка, т. е. она может принадлежать нескольким поверхностям , которые будут касаться вдоль нее. Можно построить решения уравнения (23), которые на характеристике С будут непрерывны вместе с первыми производными, а вторые производные будут терпеть разрыв. Разрывы такого рода называют слабыми разрывами.