Для отыскания
вдоль кривой С имеем три соотношения:
где все дифференциалы берутся вдоль кривой С.
Рассмотрим (24) как систему трех линейных алгебраических уравнений для неизвестных
с определителем
Нас будут интересовать два случая:
1) определитель
отличен от нуля на кривой
2) определитель
тождественно равен нулю на кривой С.
В первом случае вторые производные
функции и
определяются вдоль кривой С единственным образом.
Во втором случае, так как мы исходим из существующего решения и(х,у), система (24) будет совместна, и мы получим бесконечное множество значений
в каждой точке кривой С. В этом случае кривую С называют характеристикой уравнения (23), соответствующей заданному решению и
а кривую С вместе с заданными на ней значениями
характеристической кривой.
Если кривая С является характеристикой при заданном решении
, то вдоль нее имеет место соотношение
или
Разрешая это уравнение относительно получим:
Если
то получим два обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка, которые определят два однопараметрических семейства интегральных кривых, покрывающих область
где определено решение и
Эти два семейства называют первым и вторым семействами характеристик, соответствующими данному решению
уравнения (23). Через каждую точку области
проходит одна и только одна характеристика каждого семейства. Если в некоторой области изменения
уравнение (26) имеет два действительных различных корня для
то говорят.
что в этой области уравнение принадлежит к гиперболическому типу. Только такие уравнения мы и будем рассматривать.
Если уравнение (23) линейно, т. е.
и с не зависят от
то характеристики не зависят от выбора решения и оба семейства характеристик можно найти, интегрируя уравнения (27).
Если кривая С для данного решения
является характеристикой, то из совместности системы (24) следует, что все определители третьего порядка матрицы
на кривой С должны обращаться в нуль, т. е.
Используя условие, что С есть характеристика и исключая из соотношений
с помощью соотношения (27), во всех трех случаях получим:
Знаки в (29) соответствуют знакам в (27). Таким образом, имеют место соотношения:
называемые уравнениями характеристик. Первое из них называют уравнением направления характеристик, а последние два — дифференциальными соотношениями вдоль характеристик. Если ввести обозначения
то уравнения характеристик можно переписать следующим образом: для первого семейства
для второго семейства
Относительно характеристических кривых уравнения (23) можно сделать такое же замечание, как и о характеристических кривых системы уравнений первого порядка, т. е. она может принадлежать нескольким поверхностям
, которые будут касаться вдоль нее. Можно построить решения уравнения (23), которые на характеристике С будут непрерывны вместе с первыми производными, а вторые производные будут терпеть разрыв. Разрывы такого рода называют слабыми разрывами.