2. Метод Ритца решения вариационных задач.

Посмотрим, как решаются эти задачи в случае функционала

при некоторых краевых условиях. Функцию будем предполагать непрерывной. Возьмем какую-нибудь систему функций

зависящих от параметров число которых можно неограниченно увеличивать и таких, что при всех значениях параметров в некоторой области они удовлетворяют краевым условиям (последнее требование не обязательно, если краевые условия естественны). Зафиксируем и будем использовать в качестве допустимых функций в (37) только функции (38). Подставляя (38) в (37), получим некоторую функцию переменных

и наша задача свелась к отысканию минимума такой функции. Этот минимум находится обычным образом. Приравнивая нулю частные производные

получаем систему уравнений для определения Пусть будет решением этой системы (условия существования и единственности решения предполагаются выполненными). Тогда

Как мы видели, существует. Наложим некоторые ограничения на семейства обеспечивающие выполнение условия Для этого достаточно потребовать следующее: для каждого и для каждой допустимой функции краевой задачи можно подобрать такое и такие значения параметров что если

то на отрезке

Действительно, тогда и для функции дающей точное решение минимальной задачи (37), можно подобрать такую функцию что будут выполнены условия (43). При этом

может быть сделано как угодно малым в силу непрерывности Таким образом,

где как угодно мало. Тем более

(Здесь минимизирующая функция в семействе Неравенство (46) и показывает, что

Сейчас мы перейдем к одному эффективному способу построения функций придется наложить некоторые дополнительные ограничения на функцию Ограничимся краевыми условиями вида

Как и всегда, будем предполагать, что вариационная задача имеет единственное решение в классе гладких функций, удовлетворяющих краевым условиям (47). Относительно функции будем предполагать следующее:

1. Для каждого числа должно существовать такое число что любая функция, удовлетворяющая краевым условиям (47) и неравенству

должна также удовлетворять неравенству

2. Для каждого числа можно подобрать такие постоянные что при всех х и у, принадлежащих области

и произвольном имеет место неравенство

Возьмем произвольную систему непрерывно дифференцируемых на функций которых выполнены следующие условия:

2. При любом функции линейно независимы.

3. Для любой непрерывной на функции и для любого можно найти обобщенный многочлен

такой, что

В качестве функции можно, например, взять

а в качестве функций

или

За функции которых говорилось выше, будем брать многочлены

Очевидно, при любых и многочлены (58) удовлетворяют краевым условиям (47). Подставляя (58) в (37), получим:

Докажем, что эта функция достигает своего наименьшего значения при некоторых конечных значениях Для этого возьмем какую-нибудь систему значений и обозначим

Ясно, что нам достаточно рассматривать только такие значения а для которых функция имеет значения меньшие или равные Тогда, в силу первого условия, наложенного на найдется такое что будет выполнено неравенство (49). Но при этом мы можем ограничиться областью О определенной (50), где выполнено неравенство (51). В силу этого неравенства будем иметь:

Отсюда

или

Применяя неравенство Минковского 1), найдем:

Обозначим

Тогда неравенство (64) можно записать в виде

Второй множитель левой части последнего неравенства как непрерывная функция на единичной сфере (ибо ) достигает там своего наименьшего значения . Это не может быть нулем, так как функции линейно независимы. Таким образом, из неравенства (66) следует:

Итак, мы получили, что множество тех значений для которых функция не превышает образует замкнутое ограниченное множество пространства Следовательно, найдется такая система значений для которых эта функция принимает свое наименьшее значение.

Заметим, что для многочленов (58) выполнены условия полноты (43). Действительно, в силу третьего предположения о функциях для любого и любой непрерывно

дифференцируемой допустимой функции найдутся такое и такие что

Отсюда

Поэтому мы можем утверждать, что

При наших предположениях о функции мы можем доказать и большее. Покажем, что из последовательности функций минимизирующих функционал (37), можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Прежде всего заметим, что мы можем предполагать неравенство (62) выполненным для всех Таким образом,

Поэтому неравенство Гельдера даст нам

где

Это означает, что последовательность функций равностепенно непрерывна. Она является и равномерно ограниченной, так как определяющее область можно считать одним и тем же для всех функций последовательности. Тогда на основании теоремы Арцеля мы можем утверждать, что найдется подпоследовательность из функций сходящаяся к некоторой предельной функции

Но Таким образом,

Дальнейшие рассмотрения будем проводить для краевой задачи (1) и (2) при тех предположениях о которые были сделаны ранее. Прежде всего покажем, что в этом случае выполнены требования 1 и 2 на функцию В этом случае

Пусть Тогда

Обозначим

Из (74) следует:

Кроме того, очевидно,

Поэтому

Применяя неравенство Буняковского, получим:

Из (79) и (76) следует:

Преобразовывая это неравенство, найдем, что У должна удовлетворять условию

Последнее неравенство будет выполнено только при У, заключенных между следующими двумя числами:

Таким образом если обозначить через значение величины (82), где выбран знак перед корнем, то

Проверка того, что выполнено второе условие, тривиальна. Достаточно взять следующие значения:

Таким образом, все предыдущие рассуждения применимы к нашему случаю.

Но здесь мы можем пойти и дальше. Рассмотрим Обозначим

Тогда

Произведем интегрирование по частям в первом члене второго интеграла, учтя, что Получим:

Таким образом,

и так как у удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), то

Следовательно,

и

Так как при то мы приходим к заключению, что вся последовательность стремится к у. При этом неравенство (90) даст оценку погрешности.

В нашем случае функция минимум которой приходится отыскивать, имеет вид

где

- известные постоянные числа.

Таким образом, для отыскания коэффициентов получим систему линейных алгебраических уравнений

Чтобы эта система имела решение и притом единственное, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная система имела только тривиальное решение. Но это так и будет в нашем случае. Действительно, если бы имелась нетривиальная система значений удовлетворяющая системе

то, обозначая

и используя значения мы получили бы

Умножая каждое из этих равенств на соответствующее и складывая полученные равенства, мы нашли бы

Равенство (99) противоречит нашему предположению о том, что функции линейно независимы.

Изложенный нами метод решения вариационных задач был впервые предложен Ритцем и поэтому носит название метода Ритца.

Методом Ритца можно решать и краевую задачу (4) с нулевыми При этом принимаем

а функции подбираем так, чтобы при любых были выполнены условия

Это возможно осуществить, если взять

Случай ненулевых можно свести к случаю нулевых заменой искомой функции

где некоторая функция, удовлетворяющая краевым условиям (4).