5. Некоторые общие замечания.
При численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных методом сеток могут быть использованы только сходящиеся разностные схемы, так как только в этом случае можно рассчитывать на получение приближенного решения, достаточно близкого к точному решению задачи. Но и сходящиеся разностные схемы не всегда могут быть использованы при практическом решении задачи, так как при применении метода сеток при вычислении значений граничных функций и правой части неизбежно возникают погрешности, и чтобы эти погрешности не исказили истинного решения разностной схемы, последняя должна быть устойчивой по граничным условиям и по правой части. При использовании неустойчивой разностной схемы искажение истинного решения тем сильней, чем мельче сетка, при использовании же крупной сетки мы не можем рассчитывать, что решение разностной схемы будет близко к точному решению краевой задачи для дифференциального уравнения в силу плохой разностной аппроксимации уравнения.
Далее, при решении разностной задачи в процессе счета нам неизбежно придется округлять значения решения в узлах сетки.
Наличие этих ошибок может также сильно исказить картину решения, поэтому необходимо требование устойчивости разностной схемы относительно ошибок, возникающих в результате округлений значений решения в узлах сетки. Так как ошибки округления значений решения в узлах сетки, по крайней мере, в простейших случаях можно компенсировать изменением правой части разностного уравнения, то особенно существенно требование устойчивости по правой части. Наконец, нужно иметь в виду, что мы всюду рассматривали устойчивость как свойство, связанное лишь с разностным уравнением и граничными условиями для него, совершенно не принимая во внимание алгоритм, используемый для решения разностной схемы. Однако даже в том случае, когда разностная схема устойчива по граничным условиям и по правой части, при неудачном выборе алгоритма для счета решения этой разностной схемы может произойти сильное накопление вычислительной погрешности, в этом случае уже неустойчивым будет сам процесс счета. Неустойчивые алгоритмы счета практически непригодны в случае мелкой сетки. На это явление мы уже указывали при изложении метода прогонки решения краевых задач. В книге В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова «Об устойчивости разностных уравнений» приведены пример разностной схемы и алгоритмы получения решения схемы, из которых одни являются устойчивыми, а другие неустойчивыми.
Вопросы устойчивости разностных схем и вычислительных алгоритмов приобретают особое значение при использовании современных быстродействующих вычислительных машин, и исследованию этих вопросов уже сейчас посвящено большое количество работ.
