4. Численное решение квазилинейной гиперболической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо.

Для численного решения различных задач для гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть применен метод Массо, в основе которого лежит замена дифференциальных уравнений характеристик, выведенных в п. 1, соответствующими конечноразностными уравнениями. Мы подробно изложим этот метод применительно к системе двух квазилинейных уравнений.

Идея метода следующая. В плоскости х, у рассмотрим две близкие точки 1 и 2 (рис. 49). Обозначим координаты этих точек через Пусть в этих точках известны значения искомых функций удовлетворяющих квазилинейной гиперболической системе уравнений

Рис. 49.

Их значения в точках 1 и 2 обозначим соответственно Через точку 1 проведем прямую в направлении характеристики первого семейства характеристик, выходящей из точки 1, а через точку 2 — прямую в направлении характеристики второго семейства, выходящей из точки 2. Эти

прямые пересекутся в некоторой точке 3. Координаты этой точки являются решением системы

где - угловой коэффициент касательной к характеристике первого семейства в точке 1, — угловой коэффициент касательной к характеристике второго семейства в точке 2, являющиеся соответствующими корнями уравнения (14) в точках 1 и 2.

Уравнения (35) получаются из уравнения направления характеристики первого семейства в точке 1 и уравнения направления характеристики второго семейства в точке 2 заменой входящих в них дифференциалов конечными разностями.

Далее, заменяя дифференциалы, входящие в дифференциальные соотношения на соответствующих характеристиках, конечными разностями, получим систему уравнений для определения значений в точке 3, которые мы обозначим через Эта система имеет вид

где суть значения определителей (17) в точке Решая эту систему относительно найдем первое приближение функций в точке 3. Это приближение может оказаться недостаточно точным, так как мы заменили характеристики, выходящие из точек 1 и 2, отрезками прямых, в то время как точка 3 на самом деле должна быть точкой пересечения, вообще говоря, криволинейных характеристик, и, кроме того, дифференциалы всюду мы заменяем конечными приращениями. Поэтому может возникнуть необходимость в уточнении координат точки 3 и значений и в этой точке. Это уточнение можно выполнять двумя способами.

Первый способ. Вычисляют угловые коэффициенты и характеристик первого и второго семейства в точке 3, найденной в первом приближении, и вводят средние арифметические

Точно так же находят средние арифметические

где значения в найденном первом приближении точки Искомые величины второго приближения точки 3: находят, решая последовательно следующие системы линейных алгебраических уравнений:

Получим уточненные значения координат точки 3: и уточненные значения искомых функций в этой точке Если их еще раз нужно уточнять, поступаем аналогично, принимая в качестве точки 3 вновь полученное приближение. Процесс продолжают до тех пор, пока значения величин для точки 3, полученные при двух последовательных приближениях, будут совпадать с заданной точностью).

Второй способ. Используя найденные значения находим:

и за принимаем первый корень уравнения (14), в котором взяты для точки а за принимаем второй корень уравнения (14), в котором взяты в точке маз далее вычисляем значения определителей

в точке и в точке и находим последовательно решая системы

Для дальнейшего уточнения процесс продолжаем аналогично, используя вновь найденные значения величин в точке 3).

Точность, с которой можно получить значения в точке 3, естественно зависит также и от близости точек 1 и 2, Умея решать описанную выше элементарную задачу отыскания точки по двум известным точкам можно численно решать различные задачи для системы (34). Рассмотрим некоторые из них.

Рис. 50.

А. Задача Коши. Задача Коши заключается в отыскании решения системы (34), если функции заданы на некоторой дуге тладкой кривой С, не имеющей характеристических направлений ни в одной точке. Численное решение этой задачи по методу Массо заключается в следующем. На дуге кривой выбираем ряд достаточно близких точек (рис. 50). На этом рисунке выбранные точки занумерованы числами По точкам 1 и 2, выше указанным методом, находим точку 8 (т. е. ее координаты и значения и и в в ней). Это сделать можно, так как для точек 1 и 2 все нужные величины известны из начальных условий. Затем по точкам 2 и 3 находим точку по точкам 6 и 7 — точку 13. Теперь ряд точек рассматриваем как исходный и продолжаем

построение. Процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет заполнен «треугольник» , в котором сторона есть ломаная линия, являющаяся некоторым приближением к характеристике первого семейства, выходящей из точки , а ломаная есть приближение к характеристике второго семейства, выходящей из точки Указанное построение можно выполнить и с другой стороны кривой С. При этом получим «треугольник» , стороны которого являются соответственно приближениями к характеристике 2-го семейства, проходящей через точку о, и к характеристике 1-го семейства, проходящей через точку При этом в явном виде находится область, в которой можно найти решения системы при начальных условиях, заданных на участке кривой С. Для точного решения эта область образуется четырьмя характеристиками, выходящими из концевых точек и соответствующими решению, определяемому начальными условиями.

Рис. 51.

Если система нелинейна, то эти характеристики заранее неизвестны, и мы попутно получаем их приближения с помощью ломаных линий. В случае линейной системы сеть характеристик может быть заранее построена, и нужно только в точках их пересечения находить значения используя дифференциальные соотношения на характеристиках.

Б. Задача Гурса. В задаче Гурса требуется найти решение системы (34), если на двух характеристиках выходящих из одной точки а, заданы значения причем значения соответствующих функций, заданных на характеристиках, совпадают в общей точке а. (Само собой разумеется, что заданные функции на каждой характеристике таковы, что дифференциальные уравнения характеристик удовлетворяются.)

Численное решение этой задачи методом Массо состоит в следующем. На дугах характеристик берется ряд близких точек (рис. 52) в нашем случае. В этих точках значения и известны. С помощью нашего элементарного построения по точкам 4 и 5 находим точку 10, по точкам 3 и 10 — точку по -точку 72; по 1 и 12 — точку 13. Далее, принимая ряд точек 5, 10, 11, 12, 13 за новый ряд, продолжаем то же построение. При этом мы заполним элементарными четырехугольниками «четырехугольник», аппроксимирующий криволинейный четырехугольник, две стороны которого суть заданные дуги характеристик а две другие есть дуги характеристик вторых

семейств, выходящие из концов Таким образом, снова определяется область, в которой можно построить решение по заданным значениям.

В. Первая смешанная задача. Эта задача заключается в построении решения системы (34), если на дуге являющейся характеристикой, и на дуге которая ни в одной точке не имеет характеристического направления, заданы значения При этом предполагается, что в общей точке а значения соответствующих функций согласованы и характеристика второго семейства, выходящая из точки о, лежит внутри угла (рис. 53).

Решение первой смешанной задачи сводится к последовательному решению задачи Коши и задачи Гурса изложенным выше методом, нужно только начинать с решения задачи Коши с начальными данными на дуге

Рис. 52.

При этом мы сможем построить решение в «треугольнике», аппроксимирующем треугольник ограниченный дугой и дугами двух характеристик разных семейств, выходящих из концов а и с. При этом приближенно определится вторая характеристика выходящая из точки а, которая вначале была неизвестна, а также определятся значения и в узлах этой характеристики. Далее, решение задачи в области. сводится к решению задачи Гурса, так как и будут известны на обеих характеристиках, выходящих из точки а

Рис. 53.

Г. Вторая смешанная задача. Эта задача заключается в отыскании решения системы (34), если известны значения на характеристике и известна линейная комбинация на кривой не имеющей характеристических направлений, где - заданные функции точки дуги При этом предполагается, что вторая характеристика, выходящая из точки а, лежит вне угла

кроме того, значения и в точке а кривой удовлетворяют соотношению в этой точке.

Для решения этой задачи поступают следующим образом. На дуге характеристики берем ряд точек (рис. 54). Из точки 1 проводим в направлении характеристики второго семейства прямую до пересечения с кривой Пусть это будет точка 5. Из дифференциального условия на характеристике второгосемейства и граничного условия находим в этой точке. По найденной точке 5 и точке 2 обычным путем найдем точку 6, по точкам 6 и 3 — точку 7 и т. д. Ряд точек принимаем за исходный ряд и процесс повторяем. Таким образом, мы можем заполнить сетку в области, ограниченной кривыми и характеристикой второго семейства, проведенной из точки до пересечения с кривой

Рис. 54.