Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. Численное решение квазилинейной гиперболической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка методом Массо.Для численного решения различных задач для гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть применен метод Массо, в основе которого лежит замена дифференциальных уравнений характеристик, выведенных в п. 1, соответствующими конечноразностными уравнениями. Мы подробно изложим этот метод применительно к системе двух квазилинейных уравнений. Идея метода следующая. В плоскости х, у рассмотрим две близкие точки 1 и 2 (рис. 49). Обозначим координаты этих точек через
Рис. 49. Их значения в точках 1 и 2 обозначим соответственно прямые пересекутся в некоторой точке 3. Координаты
где Уравнения (35) получаются из уравнения направления характеристики первого семейства в точке 1 и уравнения направления характеристики второго семейства в точке 2 заменой входящих в них дифференциалов конечными разностями. Далее, заменяя дифференциалы, входящие в дифференциальные соотношения на соответствующих характеристиках, конечными разностями, получим систему уравнений для определения значений
где Первый способ. Вычисляют угловые коэффициенты
Точно так же находят средние арифметические
где
Получим уточненные значения координат точки 3: Второй способ. Используя найденные значения
и за
Для дальнейшего уточнения процесс продолжаем аналогично, используя вновь найденные значения величин в точке 3). Точность, с которой можно получить значения
Рис. 50. А. Задача Коши. Задача Коши заключается в отыскании решения системы (34), если функции построение. Процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет заполнен «треугольник»
Рис. 51. Если система нелинейна, то эти характеристики заранее неизвестны, и мы попутно получаем их приближения с помощью ломаных линий. В случае линейной системы сеть характеристик может быть заранее построена, и нужно только в точках их пересечения находить значения Б. Задача Гурса. В задаче Гурса требуется найти решение Численное решение этой задачи методом Массо состоит в следующем. На дугах характеристик семейств, выходящие из концов В. Первая смешанная задача. Эта задача заключается в построении решения Решение первой смешанной задачи сводится к последовательному решению задачи Коши и задачи Гурса изложенным выше методом, нужно только начинать с решения задачи Коши с начальными данными на дуге
Рис. 52. При этом мы сможем построить решение в «треугольнике», аппроксимирующем треугольник
Рис. 53. Г. Вторая смешанная задача. Эта задача заключается в отыскании решения системы (34), если известны значения кроме того, значения и Для решения этой задачи поступают следующим образом. На дуге характеристики
Рис. 54.
|
1 |
Оглавление
|