§ 2. Метод сеток решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа

Метод сеток является одним из самых распространенных методов численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа. При изложении этого метода мы ограничимся краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными.

1. Идея метода сеток.

Идею метода сеток изложим на примере решения задачи Дирихле для уравнения

где функции независимых переменных х и у, определенные в конечной области с границей Относительно этих функций предположим, что они непрерывны в положительны в неположительна в ней.

Пусть необходимо найти решение уравнения (1), непрерывное вплоть до границы принимающее в точках границы заданные значения т. е.

где непрерывная функция на

Для отыскания приближенного численного решения этой задачи проведем два семейства параллельных прямых:

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла назовем соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси х или у на расстояние шага сетки в направлении этой оси. Будем рассматривать только те узлы, которые принадлежат Те

из них, у которых все четыре соседних узла принадлежат этому множеству, назовем внутренними. Множество внутренних узлов назовем сеточной областью и обозначим через Те узлы, у которых хотя бы один соседний узел не принадлежит к рассматриваемому множеству, назовем граничными, а совокупность их назовем границей сеточной области и обозначим через Для каждого внутреннего узла составим разностное уравнение, заменив в точке производные, входящие в уравнение (1), разностными отношениями, положив, например,

где принято обозначение Обозначая значения коэффициентов уравнения (1) в узле через получим для узла разностное уравнение

Рис. 26.

Такие уравнения можно записать для каждого внутреннего узла. Если узел является граничным узлом, то в этом узле положим равным значению функции в точке ближайшей к этому узлу, т. е. просто снесем в граничные узлы значения функции из ближайших к ним точек границы Таким образом, для отыскания значений решения во внутренних узлах мы получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Если эта система разрешима, то, решив ее, получим приближенные значения искомого решения на конечном множестве точек, являющихся внутренними узлами.

Сразу же возникает ряд вопросов:

1. Разрешима ли полученная система разностных уравнений и если разрешима, то какими способами она может быть решена?

2. Насколько будут близки полученные при этом значения к значениям точного решения задачи Дирихле в соответствующих точках?

Можно сразу сказать, что погрешность, получаемая при этом методе, складывается из трех погрешностей, имеющих разную природу:

а) погрешность, возникающая в результате замены дифференциального уравнения разностным уравнением, зависящая от точности аппроксимации дифференциального уравнения разностным;

б) погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с на границу сеточной области

в) погрешность, возникающая в результате того, что решение разностной системы уравнений, вообще говоря, может быть найдено только приближенно.

Совокупность погрешностей а) и б) дает нам погрешность метода, а погрешность в) есть вычислительная погрешность.

3. Можно ли, неограниченно сгущая сетку, получить решение, сколь угодно близкое к точному решению краевой задачи для уравнения (1), т. е. возникает вопрос о сходимости метода сеток.

В этом параграфе мы постараемся дать ответы на поставленные вопросы для некоторых конкретных краевых задач.