§ 7. Линейные операторы. Нормы операторов

Прежде чем переходить к изучению методов последовательных приближений, мы рассмотрим некоторые свойства операторов, которые нам при этом потребуются.

Пусть А — аддитивный оператор, заданный в линейном нормированном пространстве Этот оператор называется ограниченным, если существует такая постоянная С, что для любого элемента выполнено неравенство

Ограниченный, аддитивный оператор будем в дальнейшем называть линейным. Наименьшее из чисел С будем называть нормой оператора и обозначать Таким образом, норма оператора А есть такое число что при любом выполнено

и с другой стороны, для любого найдется такой элемент что

Можно дать другое определение нормы оператора, а именно положить

Нетрудно показать, что оба определения эквивалентны. Действительно, неравенства (2) и (3) можно переписать в виде

где -элементы с единичной нормой. Поэтому норма оператора в смысле первого определения будет равна норме в смысле второго определения. Наоборот, если пользоваться равенством (4) для определения нормы, то будем иметь:

для любого т. е. имеем неравенство (2). С другой стороны, в силу определения верхней границы, для любого найдется такой элемент что

Поэтому норма оператора в смысле второго определения будет равна норме оператора в смысле первого определения.

Рассмотрим совокупность всевозможных линейных операторов, определенных на Эти операторы аддитивны, и поэтому для них определены операции сложения и умножения на число. Покажем, что эти операции не выводят за пределы множества линейных операторов. По определению

если для любого имеет место

При

Итак, С — ограниченный оператор и его норма удовлетворяет неравенству

Далее, пусть

где с — число. Это значит, что для любого

При

Итак, оператор В ограничен и его норма удовлетворяет равенству

Утверждение доказано. Заметим еще, что тогда и только тогда, когда т. е. когда оператор А переводит любой элемент в нулевой. Первая часть утверждения тривиальна. Если же то

т. е. оператор А переводит каждый элемент имеющий единичную норму, в нулевой элемент. Это же будет верно и для остальных элементов в силу аддитивности оператора А.

Мы доказали, что для нормы линейных операторов выполнены все свойства, которые требуются от нормы в линейном нормированном пространстве. Таким образом, совокупность всех линейных операторов, заданных в линейном нормированном пространстве, образует в свою очередь линейное нормированное пространство.

Но в множестве линейных операторов определена еще операция умножения оператора на оператор. По определению

если для любого

При этом по первому определению нормы оператора будем иметь:

Итак, оператор С ограничен и