§ 7. Линейные операторы. Нормы операторов
Прежде чем переходить к изучению методов последовательных приближений, мы рассмотрим некоторые свойства операторов, которые нам при этом потребуются.
Пусть А — аддитивный оператор, заданный в линейном нормированном пространстве
Этот оператор называется ограниченным, если существует такая постоянная С, что для любого элемента
выполнено неравенство
Ограниченный, аддитивный оператор будем в дальнейшем называть линейным. Наименьшее из чисел С будем называть нормой оператора и обозначать
Таким образом, норма оператора А есть такое число
что при любом
выполнено
и с другой стороны, для любого
найдется такой элемент
что
Можно дать другое определение нормы оператора, а именно положить
Нетрудно показать, что оба определения эквивалентны. Действительно, неравенства (2) и (3) можно переписать в виде
где
-элементы с единичной нормой. Поэтому норма оператора в смысле первого определения будет равна норме в смысле второго определения. Наоборот, если пользоваться равенством (4) для определения нормы, то будем иметь:
для любого
т. е. имеем неравенство (2). С другой стороны, в силу определения верхней границы, для любого
найдется такой элемент
что
Поэтому норма оператора в смысле второго определения будет равна норме оператора в смысле первого определения.
Рассмотрим совокупность всевозможных линейных операторов, определенных на
Эти операторы аддитивны, и поэтому для них определены операции сложения и умножения на число. Покажем, что эти операции не выводят за пределы множества линейных операторов. По определению
если для любого
имеет место
При
Итак, С — ограниченный оператор и его норма удовлетворяет неравенству
Далее, пусть
где с — число. Это значит, что для любого
При
Итак, оператор В ограничен и его норма удовлетворяет равенству
Утверждение доказано. Заметим еще, что
тогда и только тогда, когда
т. е. когда оператор А переводит любой элемент в нулевой. Первая часть утверждения тривиальна. Если же
то
т. е. оператор А переводит каждый элемент
имеющий единичную норму, в нулевой элемент. Это же будет верно и для остальных элементов
в силу аддитивности оператора А.
Мы доказали, что для нормы линейных операторов выполнены все свойства, которые требуются от нормы в линейном нормированном пространстве. Таким образом, совокупность всех линейных операторов, заданных в линейном нормированном пространстве, образует в свою очередь линейное нормированное пространство.
Но в множестве линейных операторов определена еще операция умножения оператора на оператор. По определению
если для любого
При этом по первому определению нормы оператора будем иметь:
Итак, оператор С ограничен и