5. Метод Эйткена построения итераций высших порядков.
Эйткен предложил способ получения из данной итерации или из двух данных итераций одного и того же порядка итерации более высокого порядка.
Пусть имеются итерации
порядка
сходящиеся к
. С помощью функций
построим фунцию
Тогда итерация
имеет порядок выше
если только выполнено условие
Для доказательства этого утверждения заметим, что последовательность
сходится к
и получается при решении уравнения
степеням
начинается по крайней мере с
Следовательно,
и итерация (64) имеет порядок не меньше двух.
В частности, можно положить
тогда
определяет итерацию не ниже второго порядка, если
определяет итерацию первого, и не ниже
порядка, если
определяет итерацию порядка
Заметим, что если итерация, определяемая функцией
не сходится, как бы близко к а мы ни выбирали начальное приближение
(что, например, будет при
итерация, определяемая функцией, построенной по формуле (70), будет сходящейся при выборе начального приближения, достаточно близкого к а, так как
и существует окрестность
в которой
а это является достаточным условием сходимости итерации, если только
взято из этой окрестности. При построении итерации
где
определена равенством (70), нет необходимости в явном виде находить
а можно поступать следующим образом. Исходя из
находим:
Затем определяем
с помощью соотношения
где положено
Далее, находим:
и
и т. д. Получим нестационарной итерационный процесс:
Точно так же как по
строилась итерация
более высокого порядка, можно, исходя из
построить итерацию еще более высокого порядка и