5. Метод последовательных приближений.

Для приближенного решения уравнения (2) может быть применен метод последовательных приближений, заключающийся в следующем.

Решение уравнения (2) ищем в виде ряда по степеням X:

Подставляя его в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим:

Если ядро ограничено по модулю постоянной то ряд сходится равномерно при и есть решение интегрального уравнения (2). За приближенное решение можно принять частичную сумму ряда. Если то

Отсюда

Это и дает оценку погрешности приближенном решения

если все квадратуры вычисляются точно. Если же квадратуры нельзя выполнить, то для вычисления интегралов можно применить те или иные квадратурные формулы. В этом случае удобно пользоваться следующей вычислительной схемой.

Пусть где абсциссы квадратурной формулы; Приближенное значение для будем обозначать через а для через Если коэффициенты квадратурной формулы, то

Исходя из этого соотношения, вычисления можно вести по следующей схеме:

(см. скан)

Сначала в столбцах выписывается указанная в схеме матрица, а в следующем столбце выписываются значения в узлах Для заполнения следующего столбца умножаем элементы первого столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов. Сумма попарных произведений их даст первый элемент нового столбца. Для получения второго элемента этого столбца берем сумму попарных произведений элементов второго столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов и т. д. После заполнения столбца для заполнения следующего столбца поступаем совершенно аналогично, только вместо столбца свободных членов берем последний полученный столбец. Процесс продолжают до тех пор, пока с точностью, с которой ведутся вычисления, следующий столбец становится нулевым. Значения приближенного решения в узлах получим, суммируя соответствующие элементы вычисленных столбцов по строкам.