2. Метод Фридмана.

Метод Фридмана выделения множителя многочлена не обладает таким единообразием, как метод Лина. В методе Фридмана, если есть приближение искомого

множителя для получения приближения поступают следующим образом: делят многочлен на так же, как и в методе Лина, но только до получения последнего остатка; полученное частное располагают по возрастающим степеням х и делят на него многочлен расположенный также по возрастающим степеням х, до тех пор, пока в частном получится многочлен степени это частное, деленное на коэффициент при и принимают за

Отыскание каждого приближения по методу Фридмана требует более чем в два раза больше операций, чем в методе Лина, но в некоторых случаях метод Фридмана имеет значительно лучшую сходимость, чем метод Лина. Это можно проиллюстрировать на примере выделения линейного множителя, соответствующего наименьшему по абсолютной величине корню уравнения если это уравнение имеет только действительные корни и одного знака. В самом деле, если искомый линейный множитель имеет вид приближение его есть

то в результате деления на получим:

откуда

При делении многочлена расположенного по возрастающим степеням, на многочлен до получения частного первой степени находим следующее частное:

которое после деления на коэффициент при х приобретет вид

откуда, принимая во внимание равенства (22), будем иметь:

Это - итерация для решения уравнения

Для того чтобы итерация (24) сходилась к а, достаточно, чтобы в некоторой окрестности а имело место неравенство

и было взято из этой окрестности. Но (26) будет иметь место, если

Если все корни действительны, одного знака и

то

так как

Методом индукции докажем, что

Так как при

и неравенство (30) справедливо. Пусть оно справедливо при Тогда при

так как каждая квадратная скобка положительна и меньше единицы.

Таким образом, неравенство (30) справедливо при всех Из (29) и (30) имеем:

Сравнивая (18) и (31), мы видим, что

а это означает, что в рассматриваемом случае метод Фридмана сходится быстрей метода Лина.

В общем случае области сходимости метода Фридмана и метода Лина не совпадают.

Проиллюстрируем метод Фридмана на примере, который использовался для иллюстрации метода Лина, т. е. выделим квадратный множитель многочлена

За начальное приближение снова возьмем Результаты вычислений приведены в таблице:

(см. скан)

Таким образом, после трех приближений мы получили результат почти с такой же точностью, как и после 12 приближений по методу Лина.

Если по полученному разложению найти корни многочлена, то лолучим:

В случае выделения квадратного множителя, если известно приближение искомого множителя к первое частное а и остаток находятся по схеме, приведенной в начале параграфа, причем остаток можно использовать для оценки точности достигнутого приближения. Отыскание второго частного деля которое на мы получаем следующее приближение, сводится к вычислениям по формулам: