ГЛАВА 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

§ 1. Введение

Большое число задач механики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т. е. отыскания таких значений X, для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

и отыскания этих нетривиальных решений. Здесь - квадратная матрица порядка с элементами вектор с компонентами Чтобы найти X, нужно определить корни уравнения

где - единичная матрица. На первый взгляд задача кажется очень простой. Достаточно раскрыть определитель (2) и решить полученное уравнение степени одним из тех методов, о которых говорилось в предыдущей главе. Однако при больших значениях раскрытие определителя (2) обычными методами высшей алгебры связано с громоздкой и утомительной работой. Основное затруднение вызвано тем, что X входит в каждый столбец и каждую строку определителя.

В вычислительной математике выработано много различных приемов и методов, облегчающих труд по раскрытию определителя (2). Существуют также методы, позволяющие отыскивать собственные значения и собственные векторы без раскрытия определителя (2). В этой главе мы и займемся этими вопросами. Здесь мы также коснемся задачи об отыскании значений X, удовлетворяющих уравнению

где - квадратные матрицы порядка