4. Метод Ритца решения задачи о собственных значениях.

При решении ряда задач математической физики, в частности при решении уравнений в частных производных методом Фурье, приходится решать задачу о собственных значениях дифференциальных операторов.

Рассмотрим несколько простейших задач о собственных значениях. Пусть требуется найти значения X, для которых уравнение

где положительная непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная на отрезке функция, имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее краевым условиям

Рассмотрим гильбертово пространство и линейное множество функций дважды непрерывно дифференцируемых на удовлетворяющих краевым условиям (86). На этом множестве операторов симметричен и ограничен снизу. Действительно, если и, то

ибо в силу краевых условий (86) внеинтегральный член обращается в нуль, и

где

На основании общей теории п. 1 для отыскания собственных значений X оператора с краевыми условиями (86) можно применить вариационные методы, в частности метод Ритца.

Выбрав в систему координатных функций обладающих свойствами, указанными в п. 1, ищем приближенное выражение для собственных функций в виде

Для отыскания значений имеем систему уравнений

где

в которой X должно быть корнем уравнения

По доказанному ранее корни этого уравнения дают приближенные значения первых собственных значений, а функции (89), в которых есть решения системы (90) при X, равном соответствующему корню уравнения (92), будут приближенными выражениями для соответствующих собственных функций.

Рассмотрим теперь задачу о собственных значениях для оператора

где положительная непрерывно дифференцируемая в функция, -непрерывная в функция. Для примера рассмотрим краевые условия

Мы уже видели, что этот оператор симметричен на множестве дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на принадлежащих к гильбертову пространству Так как

то он ограничен снизу, т. е. и в этом случае применима общая теория п. 1. В соответствии с этой теорией приближенные выражения для собственных функций ищем в виде

где - последовательность координатных функций, обладающая свойствами, указанными в п. 1. Для отыскания имеем систему уравнений вида (90), где теперь

а приближенные значения собственных значений находятся как корни уравнения (92), где определяются равенствами (97). Для отыскания коэффициентов входящих в приближенное выражение собственных функций (86), в системе (90) нужно положить X равным одному из этих корней.

Совершенно аналогично можно было бы рассмотреть и другие виды граничных условий, но на этом мы останавливаться не будем.