ГЛАВА 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Введение

В этой главе мы рассмотрим некоторые методы численного решения уравнений вида

где заданная функция действительного или комплексного аргумента z; в частности, может быть многочленом степени от z.

При отыскании приближенных значений корней этого уравнения приходится решать две адачи:

1) отделение корней, т. е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;

2) вычисление корней с заданной точностью.

Так как для алгебраических уравнений разработано больше методов отделения корней и методов их вычисления, то мы в дальнейшем будем более подробно останавливаться на алгебраических уравнениях.

§ 2. Отделение корней

1. Общие замечания.

При решении уравнения прежде всего важно предварительно изучить расположение корней в комплексной плоскости z и заключить каждый корень в достаточно малую область, внутри которой не было бы других корней. Для этой цели иногда выгодно применять графические методы.

Если требуется найти только действительные корни уравнения, то для отыскания грубых значений корней можно построить график функции и найти абсциссы точек пересечения графика с осью х (рис. 2).

Иногда удобней представить сначала уравнение в виде

и затем, построив графики функций найти абсциссы их точек пересечения, которые и будут приближенными значениями корней. Например, если нужно найти корни уравнения

то удобно представить его в виде

и применить указанный способ (рис. 3).

Корни уравнения симметричны относительно Поэтому мы можем рассматривать только положительные корни. Значения возможно, еще нескольких корней можно довольно точно определить графически. Однако на графике не будет для больших значений Тем не менее по ходу графиков мы можем сказать, что значения при больших будут близки к

Рис. 2.

Рис. 3.

Эти значения можно уточнить. Положим где некоторые небольшие добавки. Тогда

В силу малости можно положить

и мы получили улучшенные значения корней

Если требуется, то можно продолжить уточнение корней, положив

Это дает уравнение для определения

Но

Таким образом,

и

При желании такой процесс можно продолжить.

Для отыскания комплексных корней уравнения можно, положив представить уравнение в виде

где действительные функции действительных переменных Это уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Построив кривые мы получим действительные и мнимые части корней уравнения как соответственно абсциссы и ординаты их точек пересечения.

Имеется много специально разработанных способов графического решения уравнений, приспособленных для отдельных типов уравнений. Большое значение имеют номографические методы решения уравнений, но мы не будем останавливаться на этих методах.

Для выделения интервалов, в которых находятся действительные корни уравнения если непрерывная функция, можно воспользоваться следующими предложениями:

Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение имеет хотя бы один корень.

Если при этом имеет первую производную, не меняющую знака, то корень единственный.

Пусть есть аналитическая функция переменного х на отрезке если на концах отрезка она принимает значения разных знаков, то между имеется нечетное число корней уравнения если же на концах отрезка она принимает значения одинаковых знаков, то между или нет корней этого уравнения, или их имеется четное число (учитывая и кратность корней).