§ 10. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений вариационными методами

В настоящем параграфе мы рассмотрим вариационные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющие получить приближенное решение краевой задачи в аналитической форме. Свое название эти методы получили потому., что их первое применение было связано с заменой краевой задачи для дифференциального уравнения некоторой вариационной задачей. Так, решение краевой задачи

заменяется задачей об отыскании функции удовлетворяющей условиям (2) и обращающей в минимум функционал

Если и непрерывно дифференцируема, непрерывны и то решение краевой задачи (1) и (2) существует и единственно в классе всех непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих (2), и обращает в минимум. Более общая краевая задача (1) и

при может быть заменена задачей об отыскании минимума функционала

в классе всех непрерывно дифференцируемых функций (выполнения граничных условий можно не требовать).

И в том и в другом случае дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера для вариационной задачи. Идя по этому пути, можно найти и другие функционалы, для которых минимум достигается после подстановки в них решения краевой задачи. При этом, если функционал имеет вид

то дифференциальное уравнение соответствующей краевой задачи будет представляться в виде

Однако вариационное исчисление не является единственным путем для получения функционалов, принимающих минимальное значение при подстановке в них решения краевых задач. Можно, например, решая краевую задачу для дифференциального уравнения

рассматривать функционал

в классе всех функций, удовлетворяющих граничным условиям и обладающих достаточным количеством непрерывных производных. Можно заменить функционал (9) более общим функционалом

где некоторая положительная весовая функция. Ясно, что функционалы (9) и (10) принимают наименьшее значение, равное нулю, при подстановке в них решения краевой задачи. Такой способ получения функционалов, минимизирующихся решением краевой задачи, иногда называют методом наименьших квадратов.